| Autor |
Beitrag |
    
Andreas (Andy1605)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 14:35: | 
|
Was könnte ich falsch gemacht haben?
Zu beweisen ist:
(1+L)^n > ((n^2)/4)L^2
L>0 und n Element N ausser 1
mein Ansatz war folgender: ( ^ entspricht hoch)
-Aussage gilt für n=2 (trivial)
-Setze n:=(n+1)
(1+L)*((Summe von k=0 bis n)(n über k)(1^(n-k))(L^k)) > (((n+1)^2)L^2))/4
> ((n^2+2n+1)/4)*L^2
> ((n^2/4)L^2)*(1+(2/n)+(1/n^2))
daraus müsste nun folgen:
1+L > 1+(2/n)+(1/n^2)
aber 1+L ist lt. Voraussetzung immer >1
und 1+(2/n)+(1/n^2) immer > 9/4
--> Widerspruch |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 18:11: |
|
Mit Verlaub, Andy, das ist aber auch eine merkwürdige Beweisführung!
Du hast die Induktions-Voraussetzung
(1 + L)^n > n^2 * L^2 /4
und willst
(1 + L)^(n+1) > (n + 1)^2 * L^2 /4
beweisen.
Dann setzt du das, was du beweisen willst, voraus. Böser Fehler! Dann machst du noch einen Fehler:
Aus
ab > cd und b > d folgerst du a > c. (Bei dir a = 1 + L, b = (1 + L)^n , c = n^2 * L^2 /4, d = 1 + 2/n + 1/n^2.)
Dann der nächste Fehler:
Aus a > b, a > c, b > d, c < d leitest du einen Widerspruch her. (Bei dir a = 1 + L, b = 1 + 2/n + 1/n^2, c = 1, d = 9/4.) Wieso soll denn das ein Widerspruch sein??
Nebenbei:
Wieso ist 1 + 2/n + 1/n^2 immer > 9/4? Es ist immer <= 9/4. |
Andreas (Andy1605)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 18:42: |
|
Stimmt, es ist immer <= 9/4.
aber im Falle n=2 ist 1+(2/n)+(1/n^2) = 9/4 und demzufolge grösser als 1+L.(wenn L<5/4)
Deshalb kann 1+L > 1+(2/n)+(1/n^2) nicht sein.
Wie würdest Du denn die Aufgabe lösen? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 19:18: |
|
Wieso soll denn 1 + L > 1 + 2/n + 1/n^2 sein? Du hast offenbar den Rest nicht gelesen! |
Andreas (Andy1605)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 19:30: |
|
Hab ich schon gelesen, aber :
Behauptung: a > b
Induktionsschritt n:=n+1 :daraus folgt ax > by
Wenn Behauptung wahr sein soll, dann muss doch
x>=y sein. Oder nicht ? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 19:48: |
|
So würde ich es machen:
1. Zusätzlicher Induktionsanfang für n = 3 (ebenfalls trivial).
2. Sei n >= 3.
Beh: (1 + L)^(n+1) > (n + 1)^2 * L^2 /4
Nach IV ist (1 + L)^(n+1) = (1 + L) * (1 + L)^n > (1 + L) * n^2 * L^2 /4
Zu zeigen: (1 + L) * n^2 * L^2 /4 > (n + 1)^2 * L^2 /4.
(Dann bist du fertig. Wenn das nicht gelingt, hast du aber keinen Widerspruch, sondern deine erste Abschätzung war zu grob.)
Es ist
(1 + L) * n^2 * L^2 /4 > (n + 1)^2 * L^2 /4
<=>
(1 + L) * n^2 > (n + 1)^2
<=>
L * n^2 > 2n + 1
Dies ist erfüllt, da n >= 3 und L > 1 und somit
2n + 1 < 2n + n = 3n <= n * n = n^2 < L * n^2.
(Für n = 2 gilt das nicht - obige Abschätzung war zu grob! Deshalb habe ich den Fall durch den zusätzlichen Induktionsanfang herausgenommen.) |
Andreas (Andy1605)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 20:45: |
|
Ok. das war schon ersmal hilfreich und nachvollziebar.
Aber als Bedingungen standen doch L>0 und nicht L>1 . Damit müsste man den Induktionsanfang ja noch höher setzen. Und wie hoch kann wahrscheinlich niemand sagen, weil L=10^-50 ja auch sein könnte. Ist nach dieser Methode denn wirklich gezeigt, dass die ursprüngliche Ungleichung für alle n ab 2 gilt ???
Ich glaube Du hast gerade bewiesen, dass sie für
(L>1) und (n El. N{1,2}) gilt. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 21:12: |
|
Oh, du hast Recht! Ich dachte, es wäre L > 1 vorausgesetzt. Ich habe die Behauptung für L > 1 und n > 2 bewiesen. (Für n = 2 stimmt dein Induktionsanfang.) Bis wann brauchst du die Aufgabe? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 21:19: |
|
. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 21:25: |
|
Und noch etwas. Zu deinem Posting um 20:30:
Aus a > b und ax > by folgt nicht, dass x >= y. |
Andreas (Andy1605)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 21:56: |
|
Das ist nur eine freiwillige Übungsaufgabe.
Also es eilt nicht. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 23:02: |
|
Ich glaube, jetzt hab ich es.
Kennst du die Bernoullische Ungleichung
(1 + x)n >= 1 + nx für x > -1
und darfst du sie verwenden? |
Andreas (Andy1605)
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 20:42: |
|
Die Aufgabenstellung heisst: Beweissen Sie die folgt. Ungleichung mit dem binomischen Satz.
Ich glaube mit der B.U. soll das nicht gemacht werden.
Ich bin mir noch nicht mal mehr ganz sicher was die Sache mit der Ind. angeht.(obwohl's eigentlich ganz danach aussieht). |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 21:38: |
|
Mit dem Hinweis ist ja es super-easy!
(1 + L)^n
= Sn k=0 (n über k) * L^k
> (n über 2) * L^2
[da L > 0, sind alle Summanden positiv, man kann also alle bis auf den zweiten weglassen]
= n * (n - 1) / 2 * L^2
>= n^2 * L^2 / 4
Die letzte Ungleichung gilt wegen
n * (n -1) / 2 * L^2 >= n^2 * L^2/4
<=>
2 * n * (n - 1) >= n^2
<=>
n^2 >= n
<=>
n >= 2. |
Patrick
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 22:22: |
|
Tja, Andy, hier siehst du es. Es ist ja ganz einfach. Frag das nächste Mal doch einfach mich.
CU
Patrick |
Alex (Paint)
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 23:38: |
|
Hallo kann mir jemand helfen?
Habe folgende Aufgabe gestellt bekommen und habe keinen blassen Schimmer!
Prove that Towers of Hanoi can be solves for any number n € N of discs by reducing the case of n discs to the case of n - 1 discs. Before doing this you must find a formal describtion of the statement "ToH can be solved for any numer n of discs".
Kann mir jemand helfen? |
|
