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Patrick
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Januar, 2001 - 20:13: | 
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hi mathematicasse,
wer hat den beweis zur gueltigkeit der vandermonde-determinante zur hand? waere mir eine grosse hilfe =)
vielen dank im vorfeld, patrick |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 22:59: |
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Hi Patrick ,
Ich nehme an ,dass Du etwas zur Herleitung der
Vandermondeschen Determinante
erfahren möchtest.
Die vom französischen Mathematiker
Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796)
stammende Determinante n -ter Ordnung hat
den folgenden Aufbau:
aus n Konstanten a1, a2,a3....,an
mit Potenzen dieser Zahlen:
erste Zeile : 1 a1 a1^2 a1^3..................a1 ^ (n-1)
zweite Zeile: 1 a2 a2^2 a2^3.............. ..a2 ^ (n-1)
dritte Zeile : 1 a3 a3^2.....a3^3..................a3 ^ (n-1)
......................................................................................
n-te Zeile: 1 an an^2 an^3.................an ^ (n-1)
(Vielfach nimmt man auch die dazu Transponierte)
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Die so gebildete Determinante V n soll nun ausgewertet werden.
Wir addieren die mit -1 multiplizierten Elemente der
zweiten Zeile zu den entsprechenden Elementen der ersten Zeile.
Wir erkennen, dass dabei die Determinante V n den Faktor
(a1 - a2 ) hat.
Dieses Spiel setzen wir mit allen Zeilenpaaren einzeln fort
Aus der Kombinatorik ist bekannt, dass es in ganzen
½ n*(n-1) solche Paarungen gibt.
Jedesmal erkennen wir einen Faktor von V n, so dass sich
V n offenbar so darstellen lässt:
V n = K* (a1-a2)*(a1-a3) * ........................................*(a1-an)
.............................(a2-a3) *.........................................*(a2-an)
.............................................................................................
................................................................................* [a(n-1)-an]
Löst man in Gedanken (!) die Klammern, so erkennt man,
dass die entsprechende Summe homogen in den Konstanten ai ist
wie es die vollständige Entwicklung von V verlangt.
Mit anderen Worten:
V unterscheidet sich vom Produkt der ½ * n * (n-1) Klammern
rechts nur um einen Zahlenfaktor K, den wir schon eingesetzt haben.
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Bestimmung von K.
K ist der Koeffizient von
a1 ^ (n-1) * a2 ^ (n-2) *a3 ^(n-3)............*a(n-1).
{die letzte Klammer ist ein Index; das Produkt hat( n-1 )Faktoren}
In der vollständig entwickelten Determinante ist dieses Produkt aber
das Produkt der Glieder in der Nebendiagonalen (Diagonale von rechts
oben nach links unten).
Dieses Produkt ist nach allen Regeln der Kunst mit dem Vorzeichen
(-1) ^ [ ½ * n * (n-1) ] behaftet, also ist K gerade durch diese Potenz
von (-1) zu ersetzen.
Damit ist die Struktur der Vandermondeschen Determinante erfasst.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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