| Autor |
Beitrag |
    
Sven
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Januar, 2001 - 19:06: | 
|
Es sei f:R->R definiert durch
f(x)=0 für x irrational
f(x)=1/n für x=m/n und m,n teilerfremd.
Zeigen Sie, dass f an allen rationalen Stellen
unstetig und an allen irrationalen Stellen stetig ist. |
Katja (Krümel)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 12:45: |
|
f(x)= { 0 falls x irrational; 1/n falls x=m/n mit teilerfremden m,n aus den nat. Zahlen}
z.z.: f ist genau an allen irrationalen Stellen stetig
(1) zuerst zeigst du, dass f in allen rationalen Punkten unstetig ist:
Definiere Intervall I"delta": Id(y) := ]y-d, y+d[, d>0. Jedes dieser Id(y) enthält für rationales y
mind. eine irrat. Zahl, d.h. |f(x)-f(y)| = |0- 1/n| = 1/n ; für e= 1/2n folgt:
|f(x)-f(y)|> e => f ist unstetig für rat. x
(2)Wenn x irrat. ist, enthält ]y-1,y+1[ nur endlich viele rat. Zahlen m/n mit n <= a ("kleinergleich"), a aus nat. Zahlen
beliebig aber fest; Wenn du also d>0 klein genug wählst, erhälst du ein Intervall J := Id(y) = ]y-d,y+d[, das keine Zahl m/n,
n<=a enthält. Für e>0 wählst du a aus N (nat. Zahlen) so. dass 1/a < e (*) Für J gilt dann: m/n = x rat. Zahl aus J => n>a => 1/n < 1/a
=> f(x) = 1/n < 1/a: Also folgt: | f(x)-f(y)| = |0- 1/n| = 1/n < 1/a < e (wegen (*)). Hieraus folgt stetig für irrat. x.
Ich hoffe, das ist verständlich, wenn nicht schick mir einfach eine Mail!
Katja
Notation: e steht für epsylon, d für delta |
|
