| Autor |
Beitrag |
    
MathehilfebedürftigerInformatiker
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Januar, 2001 - 18:47: | 
|
Hallo,
ich habe keine Ahnung wie ich diese Aufgabe angehen sollte. Vielleicht kann mir jemand kurzfristig weiterhelfen, wäre wirklich nett.
Beweisen Sie folgenden Aussagen für eine
Teilmenge M ` K.
(a) Die Menge H := {x c K : x ist Häufungspunkt von M} ist stets abgeschlossen in K.
(b) Der Abschluß M(quer) := M 4 H von M ist stets abgeschlossen in K.
(c) Der Abschluß M(quer) von M stimmt mit dem Schnitt aller abgeschlossenen Obermengen von M überein.
Bestimmen Sie außerdem H und M(quer) für M := {1/n + 1/m : m,n c N \ {0}}. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Januar, 2001 - 16:24: |
|
Was ist K? Ist K ein allgemeiner topologischer Raum? Oder ist K = R oder K = C?
Wie habt ihr "abgeschlossen" definiert?
Was ist M'K?
Mit M 4 H meinst du M vereinigt H?
Für die letzte Menge M ist H = {1/n | n aus N \ {0}} vereinigt {0}. |
MathehilfebedürftigerInformatiker
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Januar, 2001 - 22:03: |
|
Hallo Zaph,
K ist sowohl R als auch C.
M heißt abgeschlossen, falls K\M offen. ([a,b]=abgeschlossen)
Was du mit M'K meinst, weiß ich nicht, habe ich doch garnicht gebraucht??
Wenn du das mit "M 4 H" bei b) meinst, dann heißt es M vereinigt H, aber bei mir ist das Vereinigt-Zeichen zu sehen?!
Danke für deine Hilfe. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 00:33: |
|
Das ist merkwürdig, bei mir steht wirklich "M 4 H" und "Beweisen Sie folgenden Aussagen für eine Teilmenge M ` K". (Ich verwende Netscape 4.6.) Ich melde mich morgen (Sonntag) wieder, denn jetzt ist es zu spät, noch etwas brauchbares aufzuschreiben.
Noch eine Rückfrage. Ist das Folgende die Definition von "offen", die du kennst?
A heißt offen, falls es zu jedem x_0 aus A ein e gibt, sodass
U_e(x_0) := {x aus K: |x - x_0| < e}
eine Teilmenge von A ist. |
MathehilfebedürftigerInformatiker
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 13:28: |
|
Ich hab es auch gerade mal mit Netscape 4.7 ausprobiert, da steht bei mir das selbe wie bei dir. Mit dem IE ist es richtig.
Ja, das ist genau unsere Definition für offen.
M'K soll M ist Teilmenge von K heißen. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 14:43: |
|
Hi, Mathehilfe bedürftiger Informatiker,
Zu a) Zeige: K \ H ist offen.
Sei x aus K \ H.
Zeige: es existiert e > 0, sodass U_e(x) Teilmenge von K \ H.
Da x nicht aus H, ist x kein Häufungspunkt von M. Also exisiert eine Umgebung U_e(x), die keinen Punkt von M enthält. U_e(x) enthält aber auch keinen Punkt aus H:
Angenommen, y aus H geschnitten U_e(x). Setze d = e - |x - y|. Dann ist U_d(y) Teilmenge von U_e(x): Sei z aus U_d(y), d. h. |z - y| < d. Es folgt
|z - x| = |z - y + y - x| <= |z - y| + |y - x| < d + |y - x| = e - |y - x| + |x - y| = e,
also z aus U_e(x).
Da U_e(x) keinen Punkt aus M enthäkt, enthält somit auch U_d(y) keinen Punkt aus M. Das ist aber ein Widerspruch, denn y ist aus H, also Häufungspunkt von M.
Also ist U_e(x) Teilmenge von K \ H.
Zu b) Zeige: K \ M(quer) ist offen.
Sei x aus K \ M(quer).
Zeige: es existiert e > 0, sodass U_e(x) Teilmenge von K \ M(quer).
Da x nicht aus M(quer) = M vereinigt H, ist x nicht aus H und somit kein Häufungspunkt von M. Jetzt weiter wie in a. Die dort konstruierte Umgebung U_e(x) hat mit M vereinigt H einen leeren Schnitt.
Zu c)
Teil 1:Sei A eine abgeschlossenen Obermenge von M.
Zeige: M(quer) Teilmenge von A.
Sei x aus M(quer).
Zeige: x aus A.
Angenommen, x nicht aus A. Da A abgeschlossen, ist K \ A offen, es existiert also eine Umgebung U_e(x), die mit A einen leeren Durchschnitt hat. Da A eine Obermenge von M ist, hat U_e(x) auch mit M einen leeren Durchschnitt. Also ist x kein Häufungspunkt von M und erst recht kein Element von M. Also x kein Elemnet von M vereinigt H = M(quer). Widerspruch!
Bis jetzt gezeigt:
M(quer) Teilmenge aller abgeschlossenen Obermengen von M, d. h.
M(quer) Teilmenge des Durchschnitts aller abgeschlossenen Obermengen von M.
Da aber M(quer) selbst eine abgeschlossenen Obermenge von M ist (vgl. b!), gilt
Durchschnitt aller abgeschlossenen Obermengen von M Teilmenge M(quer),
und somit die Gleichheit. |
MathehilfebedürftigerInformatiker
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 14:59: |
|
Hallo Zaph,
recht herzlichen dank für die ausführliche Hilfe.
Hat mir sehr geholfen. |
MathehilfebedürftigerInformatiker
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 18:28: |
|
Ich bin's nochmals,
bin jetzt mal alles in Ruhe Schritt für Schritt durchgegangen und verstehe soweit auch alles.
Eins ist mir aber noch unklar: wie kann ich in b) schließen, dass wenn wie in a) U_d(x) gibt, und den Beweis aus a) übernehme, dass dann U_e(x) hat mit M vereinigt H einen leeren Schnitt ergibt.
Könntest du mir das vielleicht nochmals erklären? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 18:44: |
|
Ganz einfach:
In a) war U_e(x) eine Umgebung, die keinen Punkt von M enthält. Und für diese Umgebung wurde gezeigt, dass sie auch keinen Punkt aus H enthält. Also hat U_e(x) mit M vereinigt H einen leeren Schnitt. |
MathehilfebedürftigerInformatiker
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 20:55: |
|
Besten dank, jetzt ist alles klar. |
|
