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Tommy
| Veröffentlicht am Freitag, den 12. Januar, 2001 - 18:37: |
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Wer kann mir helfen? 1. Berechnen Sie die Lösung der Gleichung cos x = x auf 2 Dezimalen. 2. Zeigen Sie, dass jede stetige Funktion f: [0,1]->[0,1] einen Fixpunkt hat. 3. Welche Art von Unstetigkeit hat die Funktion f(x)= e^ -1/x^2 für xeR \ {0} an der Stelle 0? |
Matroid (Matroid)
| Veröffentlicht am Freitag, den 12. Januar, 2001 - 20:50: |
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Hi Tommy, für b. schau bei http://www.zahlreich.de/cgi-bin/hausaufgaben/show.cgi?4244/9501 Und c: eine stetig behebbare Lücke, den rechts-lim und links-lim der Funktion gegen 0 sine beide 0. Gruß Matroid |
Hans
| Veröffentlicht am Samstag, den 13. Januar, 2001 - 16:19: |
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Hallo : 1. Die Funktion cos bildet das Intervall [0,1] in sich ab, und sie ist ferner kontrahierend, d.h. es gibt ein q mit 0 < q < 1 derart dass |cos(x)-cos(y)| 2 q |x-y| fuer alle x,y in [0,1]. Daraus folgt : Die durch einen Start- wert x_0 ( z.B. x_0 = 0.5) und die Rekursion x_(n+1) = cos(x_n) definierte Iterationsfolge (x_n) konvergiert gegen die gesuchte Ls<caron>sung x* . Hier gilt sogar x_(2k) < x* < x_(2k+1) fuer alle k d.h. die Intervalle [x_(2k) , x_(2k+1] bilden eine Intervallschachtelung fŸr x*. Man sieht naemlich leicht, dass das Vorzeichen der Differenzen x_(n+1) - x_n alterniert. Somit laesst sich x* leicht einschachteln (TR!). 2. Betrachte die Funktion g(x) : x - f(x) und wende den Zwischenwertsatz an. 3. Der Begriff "stetig" bzw. "unstetig" bezieht sich nur auf Stellen im Definitionsbereich, 0 gehs<caron>rt hier nicht dazu. Es handelt sich vielmehr um eine Definitionsuecke, die Frage ist, ob diese behebbar ist oder nicht, d.h. ob lim(x->0) f(x) existiert oder nicht. Offenbar gilt lim(x->0) exp(-1/x^2) = 0. Gruss Hans |
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