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Beitrag |
    
Christian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Januar, 2001 - 14:00: | 
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Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe.
Mit Wahrscheinlichkeit von p=1/2 ist ein Einzelversuch erfolgreich und zählt somit 2 Punkte. Nach einem efolgreichem Versuch kann der Spieler entscheiden, ob er einen zweiten Versuch unternimmt, oder ob er dne erreichten Punktestand (19 Punkte) festhält (und damit dem Gegner den nächsten Versuch überläßt). Nach einem erfolglosen Versuch verfallen nicht festgehaltene Punkte und der Gegner hat den nächsten Versuch. Der Spieler, der zuerst 21 Punkte erhält, gewinnt das Spiel.
1. Berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit für den beginnenden Spieler, wenn jeder Spieler den sofortigen Gewinn anstrebt (und damit auf die Möglichkeit verzichtest, erworbene Punkte festzuhalten)
2. Berechnen Sie entsprechend die Gewinnwahrscheinlichkeit für den beginnenden Spieler, wenn beide Spieler sofort nach einem Punktgewinn die erreichten Punkte festhalten.
3. Welche Strategien sind noch denkbar? Berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit für den beginnenden Spieler für mindestens einen Fall, bei dem beide Spieler unterschiedliche Strategien verfolgen.
Vielen Dank das du dier die Zeit nimmst mir zu helfen. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 18:37: |
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Hallo Christian
1.
Wenn beide versuchen, immer sofort zu gewinnen, so ist die
Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, in jedem Zug gleich 1/4. Also gewinnt der
erste Spieler mit der Wahrscheinlichkeit 1/4 im ersten Zug. Wenn das nicht
eintrifft, so kann wiederum der zweite Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit
von 1/4 gewinnen. Insgesamt ist seine Chance darauf 3/4*1/4=3/16. Die
Wahrscheinlichkeit, dass es bis zum 3 Zug kommt, ist 3/4-3/16=9/16. Die
Wahrscheinlichkeit, dass dann Spieler 1 gewinnt, ist also 9/64, also 9/16
von der Wahrscheinlichkeit, im ersten Versuch zu gewinnen. Ich gebe zu, das
ist nur eine Plausibilitätsbetrachtung, kein Beweis, aber ich dachte, so ist
es verständlicher. Wenn Du einen exakten Beweis brauchst, sag bescheid.
Insgesamt ist also die Wahrscheinlichkeit 1/4*S¥ k=0(9/16)k.
Diese geometrische Reihe lässt sich leicht berechnen. Ihr Wert beträgt
1/4*1/(1-9/16)=4/7.
Zu 2 fällt mir leider nichts ein, da man irgendwie viel zu viele Fälle
unterscheiden muss. Wenn Du eine Musterlösung bekommst, würde es mich sehr
freuen, wenn Du sie hier reinstellen könntest.
Zu 3. habe ich folgendes zu sagen: Was mir sonst noch an Strategien
einfällt, sind folgende: Abwechselnd die eine und die andere zu benutzen.
Man könnte auch die entgegengesetze Strategie oder die gleiche, wie der
andere Spieler. Das wird aber etwas problematisch, wenn der Gegner schon
beim ersten Versuch verliert, dann weiß man ja nicht, welche Strategie er
verfolgt. Ansonsten gibt es noch diese wirren Strategien, wo man vor jedem
seiner Züge per Zufall wählt, welche der beiden Strategien man in diesem Zug
benutzt. Es klingt zwar unlogisch, aber ich habe schon Spiele gesehen, in
denen das tatsächlich zum besten Ergebnis führt. Dann müsste aber die
nachahmende, oder umgekehrte Strategie besser abschneiden, als die beiden
bereits erwähnten. Mir fällt gerade auf, dass die logischste Srategie
eigentlich das Zwischenergebnis berücksichtigen sollte, also abhängig von
dem momentanen Punktestand auf sofortigen Gewinn, oder auf
Punkteverbesserung spielt.
Aber da ich schon 2) nicht berechnen kann, kann ich diese Varianten erst
recht nicht berechnen.
viele Grüße
SpockGeiger |
Christian
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Januar, 2001 - 10:58: |
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Vielen Dank für deine Hilfe - die exacte Beweisführung würde mir viel helfen, weil ich dies Aufgabe mündlich vor meinem Prof. verteidigen muß - also wenn du dazu noch die Zeit hättest, wäre das fantastisch. Nochmals Danke. |
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