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Lars (Fischtowner)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Januar, 2001 - 11:01: | 
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Hi Leute!
Wer kann mir bei der Lösung der Differentialgleichung
f'' - 6f' + 10f = 0
mit den Anfangswerten
f(0) = 1 und
f'(0) = 2
helfen?
Vielen Dank!
Gruß, Lars |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Januar, 2001 - 21:52: |
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Hi Lars,
Diese homogene lineare DGl. 2.Ordnung
mit konstanten Koeffizienten lässt sich
routinemässig lösen.
1.
Die charakteristische Gleichung:
k^2 -6 * k + 10 = 0
hat die konjugiert komplexen Lösungen
u + iv und u - iv mit
u = 3 , v = 1.
2
Die allgemeine Lösung lautet:
Y = e ^ (u x) * [ c1* cos (v x) + c2 * sin (v x) ] ,
c1,c2 :Integrationskonstanten
somit:
y = f(x) = e ^ (3x) * [c1* cos x + c2 * sin x]
3.
Berücksichtigung der Anfangsbedingungen
Wir berechnen die erste Ableitung:
f '(x) = e^(3x )* [ 3*c1 * cos x + 3*c2 * sin x
- c1* sin x + c2 * cos x ]
Auswertung: f(0) = 1 führt auf c1 = 1, weiter:
f '(0)= 3 * c1 + c2 = 2 ,
daraus :
c1 = 1 , c2 = -1
Daraus erhalten wir die gesuchte Lösung der Dgl:
f(x) = e^ (3x) * [cos x - sin x]
4.
In Anlehnung an die Operatorenmethode ist
die Aufgabe in wenigen Zeilen erledigt
Charakteristische Gleichung:k^2 - 6k + 10 0 0
Nullstellen: k1 = 3 + i1 , k2 = 3 - i1
komplexe Lösungsbasis: e^(1+i1), e^(1-i1)
reelle Lösungsbasis: e^x * cosx , e^x * sinx.
(Die Operatorenmethode wird in der Theorie der
Laplace-Transformation erklärt)
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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