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Nils (Deeznutz)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 15:28: | 
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Hallo Leute,
folgende Aufgabe soll ich für ein Mathepraktikum lösen, und habe doch große Einstiegsschwierigkeiten (LAPLACE Transformation).
Dank an euch für Lösungsvorschläge und Erklärungshilfen!!!
Also, hier mal der erste Teil der Aufgabenstellung:
Gesucht ist die Lösung der DGL
y´´ - 2y´-3y = e^3t mit y(0)=1, y´(0)=0
a) Berechne die Laplace-Transformiete L[y] der Lösungsfunktion(auf einem Bruch)
b) Ermittle den Ansatz für die Partialbruchzerlegung von L[y].
c) Berechne die Partialbruchzerlegung mit Maple.
d) Ermittle die gesuchte Lösung.
Ich hab die Aufgabe der Vollständigkeit halber komplett aufgeschrieben. Das Hauptproblem stellt der Aufgabenteil a) dar, ohne dessen Lösung ich ja nun nicht weiterkomme.
Ich bedank mich nochmal für eure mühen und hoffe von euch zu hören...
mfg
Nils |
haasenkind (Haasenkind)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Januar, 2001 - 17:21: |
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Hallo Nils !
Ich denke mal, Du hast so eine Tabelle vor Dir liegen, mit der man so schön rumlaplacen kann. Da stehen auf der einen Seite die Originalfunktionen wie zB. x, e^irgenwasmalx oder ganz verzwickte Ausdrücke in Abhängigkeit von x. Daneben stehen die sogenannten Bildfunktionen dazu. Schön geordnet und sofort verwendbar. Da hat sich also mal jemand die Mühe gemacht und die wichtigsten Laplacetransformationen ausgeführt und für Dich aufgeschrieben. Bitteschön ! Wenn nicht, besorg Dir eine oder sag bescheid...
Dann kanns ja losgehen mit der Transformation:
Es gibt sogenannte Ableitungssätze. Die mußt Du kennen, damit Du Deine Funktion in die Bildfunktion umschreiben kannst. Sie lauten so:
L ={ f´(t)} = sf(s) – f(0) für die erste Ableitung
L ={f´´(t)} =s^2f(s) – sf(0) – f´(0) für die zweite Ableitung
Für unser jetziges Problem ist das erstmal ausreichend, da ja nur erste und zweite Ableitung vorkommen.
(Nur zur Info und für spätere Aufgaben sei Dir hier die allgemeine Form genannt. Für die n-te Ableitung wird geschrieben bzw. transformiert: L ={f^(n)(t)} = s^n*f(s) –s^(n-1)*f(o) – s^(n-2)*f´(0)... –f^(n-1)(0). )
Wir transformieren nun also unsere Ausgangsfunktion in eine schöne Bildfunktion und machen das genau so:
Für y´´ : s^2*f(s) – sf(0) – f´(0)
Für y´ : sf(s) – f(0) da die –2 mal genommen werden soll: für –2y´: -2sf(s) +2f(0)
Für y : f(s) (bleibt so)da -3 mal... : für -3y: -3f(s)
Das macht in der Summe (also wie in der Ausgangsgleichung):
s^2*f(s) – sf(0) – f´(0) -2sf(s) +2f(0) -3f(s) .
So, das hätten wir schon mal. Um das e auf der anderen Seite kümmern wir uns gleich. Jetzt freuen wir uns erst mal, daß wir so schöne Anfangswerte gegeben haben. Das sind die hier: y(0)=1, y´(0)=0
Wir schmeißen also erst mal alles raus, was dadurch Null wird und setzen die Eins für y(0).
s^2*f(s) – s*1 – 0 -2sf(s) +2*1 -3f(s)
Wir fassen zusammen: s^2*f(s) – s -2sf(s) +2 -3f(s) = (s² -2s -3)f(s) -s+2
Sehr schön. Nun noch mal ein paar Zeilen zurück. Wir hatten die rechte Seite der Gleichung vernachlässigt. Diese sollte nun aber auch transformiert werden, damit alles im Bildbereich bearbeitet werden kann. Das machen wir jetzt mit Deiner Tabelle. Das e^3t steht dort in der Form e^at oder so ähnlich ( Du musst bei Originalfunktion gucken). Daneben steht die Transformation: 1/s-a . a ist in unserem Fall 3, also heißt die Bildfunktion zu e^3t hier 1/s-3.Das schreiben wir auf.
(s² -2s -3)f(s) -s+2 = 1/s-3
Die „Hintransformation“ ist damit abgeschlossen und Du ahnst es sicher schon... irgendwann müssen wir zurücktransformieren. Richtig, aber jetzt wollen wir die Gleichung erstmal im Bildbereich lösen.
Wir stellen um:
(s² -2s -3)f(s) -s+2 = 1/s-3 ( +s)
(s² -2s -3)f(s) +2 = 1/s-3 +s(s-3)/(s-3)
Die Erweiterungen deshalb, damit alles auf einen Hauptnenner passt.
(s² -2s -3)f(s) +2 = 1+s²-3s/s-3 (-2)
(s² -2s -3)f(s) = 1+s²-3s-2s+6/s-3
Das Gleiche wie oben...falls ich mich verrechnet habe, mach´s bitte richtig!
Jetzt dividieren wir noch durch s² -2s –3, damit wir f(s) isoliert stehen haben.
f(s) = s²-5s+7/(s-3) (s² -2s -3)
Das ist ja schon fast gewonnen!
Weiter: Wir machen einen Ansatz, so wie bei einer ganz normalen Partialbruchzerlegung ( das wäre dann die Lösung zu Aufgabenteil b). Also suchen wir die Nullstellen des Nennerpolynoms. Die sind hier (steht ja schon fast da) s=3 , s=-1 und s=3.
Prüf das nach ! Ist (s- 3)(s+1)(s-3) = (s-3) (s² -2s -3)?
Achtung! Wir haben eine zweifache Nullstelle, das bedeutet (s-3)² . Also lautet der Ansatz wie folgt:
f(s) = s²-5s+7/(s-3) (s² -2s -3) = A/(s- 3) + B/(s- 3)² + C/(s+1). (Partialbruchansatz)
Du kannst A, B und C sicher selbst bestimmen...oder machst es (laut Befehl) mit Maple.
Nur zum Vergleich, ich habe für A= 3/16 für B= ¼ und für C= 13/16. Das sind zwar hässliche Werte, aber das soll uns nicht verunsichern. Kann auch sein, ich habe mich irgendwo verrechnet, dann hoffe ich Du merkst das und tust Besseres. Also weiter.
Wir haben rausgefunden, daß unsere Funktion so heisst:
Y(s) = A/(s- 3) + B/(s- 3)² + C/(s+1) = 3/16(s- 3) + 1/4(s- 3)² + 13/16(s+1).
Nun ist das aber noch y(s) und wir wollten doch y(t). Das heißt wir müssen rücktransformieren. Keine Panik, wir haben ja die Tabelle und diese krummen Werte von A,B und C ziehen wir einfach als Konstanten vor die „Inverse Laplace- Transformation“ = L^-1. Das ist nix weiter als die Umkehrung der vorigen Transformation, nur eben jetzt aus dem Bildbereich zurück in den Originalbereich.
Wir haben L^-1 zu bilden:
Y(x) = L^-1 {y(s)} = L^-1{3/16(s- 3) + 1/4(s- 3)² + 13/16(s+1)}
= L^-1{3/16(s- 3)} + L^-1{1/4(s- 3)²} + L^-1{13/16(s+1)}
= 3/16L^-1{1/ (s- 3)} + 1/4L^-1{1/ (s- 3)²} + 13/16L^-1{1/ (s+1)}
So, nun suchen wir in der Tabelle ( Im Bildbereich) nach Funktionen, die so aussehen:
1/ (s- 3) oder 1/ (s- 3)² oder 1/ (s+1).
Und finden: 1/s-a entspricht e^at das ist schön für 1/ (s- 3) und wird mit a=3 zu e^3t.
1/(s-a)² entspricht te^at ... für 1/ (s- 3)², das wird zu te^3t.
1/s-a entspricht e^at das ist schön für 1/ (s+1) und wird mit a=-1 zu e^-t.
Für y(x) kommt dann raus:
Y(x) = 3/16 e^3t + 1/4 te^3t + 13/16 e^-t . (Heissa und Juchhee !)
Hey, was sagt man dazu ! Ich würde sagen wir sind fertig ! Komprie?
Nagut, hast schon genug gemacht für heute. Auf einen Nenner gebracht heißt das dann auch nicht viel anders:
Y(x) = (3e^3t + 4te^3t + 13e^-t)/16. (Bitteschön)
Lass hören, ob Dir die Sache so einleuchtet. Würd´mich freuen. |
Nils (Deeznutz)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 12:47: |
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Oh mann, ich wurd jetzt erstmal von der umfangreichen Antwort erschlagen.... Aber bei der Erklärung sollte ich es wohl verstehen. Ich werd mich jetzt mal daransetzen und die Lösung nachvollziehen. Allerbesten Dank, ich lass nochmal von mir hören. Weiter so
MfG
NILS |
Nils (Deeznutz)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 16:24: |
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Ok, ich bin das ganze jetzt durchgegangen und kann feststellen, dass es mit hilfe Deiner Erklärungen echt gut zu verstehen ist. Also nochmal vielen Dank!
NILS |
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