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Beitrag |
    
peter
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Januar, 2001 - 22:32: | 
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Stammfunktion von (sin(x))^m * (cos(x))^n
gesucht, n,m Element N |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Januar, 2001 - 13:31: |
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Hi Peter,
Wir dürfen nicht zulassen, dass dieses interessante Integral
ungelöst in der Versenkung verschwindet.
Daher soll eine Formel angegeben werden, mit welcher
Eine Reduktion eines Exponenten im Integral um 2 möglich ist..
Das Resultat sei vorweggenommen:
J =int [(sin x)^m * (cos x) ^n * dx] =
- { (sin x)^(m-1) * (cos x)^(n+1)}/(m+n)
+(m-1) / (m+n) * int [(sin x)^(m-2)*(cos x)^n * dx]
..............................................................................................(Gl.I)
Herleitung
1. Als Vorbereitung leiten wir eine Hilfsformel (H) her.
Aus ( cos x ) ^12 = 1 - ( sin x ) ^2 entsteht durch
Multiplikation beider Seiten mit (sinx)^(m-2)*(cos x)^n :
(sin x) ^(m-2) * ( cos x) ^(n+2) =
(sin x)^(m-2) * (cos x)^n - (sin x)^m * (cos x)^n.......(H)
2. Das gesuchte Integral J wird nun partiell integriert nach
dem Plan:
u = (sin x) ^ (m-1) . v ' = sin x * (cosx ) ^ n , also
u' = (m-1)*(sin x) ^(m-2) * cos x ,
v = - 1 / (n+1) * (cos x ) ^ (n+1)
Es entsteht:
J = - 1/(n+1) * (cos x)^(n+1) * (sin x)^(m-1) +
+ (m-1)/(n+1)* int [(cos x)^(n+2) * ( sin x) ^(m-2)]* dx ,
Mit (H) wird daraus:
J = - 1/(n+1) * (cos x)^(n+1) *(sin x)^(m-1) +
(m-1) / (n+1) * int [(sin x)^(m-2)*(cos x) ^ n * dx]
- (m-1) / (n+1) * int [(sin x) ^ m * (cos x) ^ n * dx ].
Das letzte Integral stellt gerade wieder das gesuchte Integral
J dar.
Wenn man zusammenfasst und nach J auflöst, erhält man die
eingangs aufgestellte Gleichung (I).
Anmerkung.
Es gibt noch weitere Formeln dieser Art ,z.B. eine solche ,
bei welcher der Exponent von cos x reduziert wird.
In der Praxis sind auch Ueberlegungen ad hoc nützlich
So wird man beim Integral
K = int [ (cos x)^6 * (sin x)^4 * dx ] am besten so vorgehen:
= int [ (cos x)^6 * {1 - 2 (cos x)^2 + (cos x)^4} * dx] =
= int [(cos x) ^ 6 * dx ] - 2 * int [(cos x) ^ 8 *dx ] +
+ int [ (cos x) ^10 * dx ] .
u.s.w.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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