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Sämtliche Lösungen von z element in C...

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Anna Burgmüller (Anna_Burg)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Januar, 2001 - 18:33:   Beitrag drucken

Hallo ihr,
ich benutz das Board zum ersten mal und weiss nicht ob mir jemand bei meinem Problem helfen kann: ich soll von folgenden Gleichungen alle Lösungen für die komplexe Zahl z finden.

1. z^4 = -3 * sqrt(3) + 9i

2. z^6 - sqrt (2) * z^3 +1 = 0

Also ich hab en paar sites gesehen, wie man das angehen könnte, aber ich komme nicht weiter.
Bitte, sagt mir wie ich sowas lösen kann,

ich dank euch,
Anna

hm, kann mir einer bitte bei der Gelegenheit die Sache mit dem Onlinemathebuch erklären, sprich wie man sich anmeldet und so ?
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Fern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 15:26:   Beitrag drucken

Hallo Anna,
Erste Aufgabe:
z4=-3W(3)+9i
=================
Wir formen in die trigonometrische Schreibweise um.
|z4|=W(27+81)=6W(3)

cos(f)=-3W(3)/[6W(3)]=-½
sin(f)=9/[6W(3)]= ½W(3)

Also im 2. Quadranten: f = (2/3)p

z4 = 6W(3)*(cos(2p/3) + isin(2p/3)) modulo 2kp
====================================================
Daraus jetzt die 4. Wurzel:
Wir dividieren Argument durch 4

z= [6W(3)]1/4*(cos(p/6) + isin(p/6)) modulo kp/2
==========================================================
Dies sind 4 (Haupt-) Lösungen auf dem Kreis mit
Radius = [6W(3)]1/4 = 1,7955...
und den Winkeln:
p/6 = 30°
2p/3 = 120°
7p/6 = 210°
10p/6= 300°
=======================
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Fern
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 16:17:   Beitrag drucken

Hallo Anna nochmal,
Die zweite Aufgabe:
z6-W(2)z³+1=0
====================
Wir setzen Z=z³
Z²-W(2)Z+1=0

Z=½[W(2)±W(2-4)= W(2)/2± iW(2)/2
=============
Diese beiden Werte schreiben wir jetzt in trigonometrischer Form:
Z1:
|Z1|=W(2/4+2/4)=1
cos(f)=W(2)/2
sin(f)=W(2)/2
Also erster Quadrant: f=p/4 = 45°
Z1 = 1*(cos(p/4) + isin(p/4)) modulo 2kp

z=Z1/3=1*(cos(p/12)+isin(p/12) modulo 2kp/3
=================
Dies sind 3 (Haupt-)Lösungen.
Die anderen 3 ergeben sich mit Z2=W(2)/2-iW(2)/2
========
Ich habe jetzt keine Zeit mehr.
Wenn du noch Hilfe brauchst, melde dich nochmal.
===========================
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Anna Burgmüller (Anna_Burg)
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Veröffentlicht am Freitag, den 12. Januar, 2001 - 21:46:   Beitrag drucken

Hi Fern,

ich habe da noch ein paar Fragen:
1. letztlich bin ich auf die Form:
z=4.W(108)*e^(i*(phi)/4)) gekommen. Dies ist offenbar die 1. Lösung, um auf die anderen 3 zu kommen, nehme ich an, dass ich dazu schreibe: 2.Lösung: z=3.W(108)*e^(i*(phi)/3))
3.Lösung: z=2.W(108)*e^(i*(phi)/2))
4.Lösung: z=W(108)*e^(i*(phi)))
liege ich da richtig?


2. Aufgabe:
Ich habe entsprechend substituiert. Ich bin dann auf die Form q^2-W(2)q+1=0, dann habe ich die Quadratische Ergänzung benutzt und bin auf:
q^2-W(2)q+1/2+1/2=0 gekommen. Dann habe ich umgeformt und bin zu (q-W(2)/2)^2-(W(-1/2))^2
Für q1 habe ich dann: q1=+W(2)/2+1/2 und für
q2=+W(2)/2-1/2 gekommen.
Nun wusste ich aber nicht mehr weiter. Ist es richtig, wenn ich nun "re-substituiere" und somit für q wieder z^3 erhalte, also q1=z^3=+W(2)/2+1/2
bzw. q2=z^3=+W(2)/2-1/2 ?
Danach wieder für q1 die 3te,2te und 1te Wurzel ziehe, und dies analog für q2 mache? Somit also für q1 und q2 jeweils 3 Lösungen erhalte.

Eventuell kannst du mir ja ab dem Teil, der event. falsch ist, die richtige Lösung verraten.

Ciou, Anna.
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Fern
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Veröffentlicht am Samstag, den 13. Januar, 2001 - 09:02:   Beitrag drucken

Hallo Anna,
Universitätsniveau ?
Die 3te Wurzel und 2te Wurzel verstehe ich ja noch.
Aber was ist dann die 1te Wurzel ??
====================================
1) Aufgabe.
Lösung habe ich ja in trigonometrischer Form angegeben.
In Exponentialform lauten die 4 Lösungen:
z1= (6W(3))1/4*eip/6
z2= (6W(3))1/4*ei(2/3)p
z3= (6W(3))1/4*ei(7/6)p
z4= (6W(3))1/4*ei(10/6)p
===================================
2) Aufgabe.
Deine Aulösung der quadratischen Gleichung q²-W(2)q+1=0 ist nicht richtig. (Siehe meine Lösung weiter oben).
Die 6 Lösungen der Aufgabe liegen alle auf dem Einheitskreis und lauten:
z=eif mit f= p/12, (7/12)p, (9/12)p, (15/12)p, (17/12)p, (23/12)p.
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