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Beitrag |
    
Juan Hector Gonzalez (Hector_Gonzi)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Januar, 2001 - 17:17: | 
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Hallo, wer kann mir bitte bei der Lösung der folgenden Gleichungen helfen:
1) z^4 = - 3(Wurzel 3) + 9i
2) z^6 - (Wurzel 2)* z³ + 1 = 0
Danke! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 15:23: |
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Saludo !
1 Aufgabe
Die vier Lösungen ergeben sich als die vier vierten Wurzeln
aus der komplexen Zahl
u = -3*wurzel (3)+i*9 = 6*wurzel(3)*[ - ½ + i * wurzel(3) / 2]
Die komplexe Zahl v in der eckigen Klammer hat den Betrag eins;
das Argument von v ist phi = 2*Pi /3 ( populär: 120° ) ,
wie wir aus der Beziehung tan(phi) = {wurzel(3) / 2}/(-1/2 )
schliessen (Punkt im Quadrant II).
Für die komplexe Zahl cos (phi) + i sin (phi) verwenden wir die
aus der Musik (!) stammende Abkürzung cis (phi).
Dann gilt:
u = 6*wurzel(3) * cis (2*Pi/3) = wurzel(108) * cis ( 2*Pi/3)
Jetzt ziehen wir die vierte Wurzel aus dem Betrag r = wurzel 108
dies ergibt die achte wurzel aus 108 = R ;
numerischer Wert: R ~ 1.79547.
Das Argument phi wird durch vier dividiert: damit erhalten wir
das Argument A der wurzel, nämlich A = phi / 4 = Pi /6 ( 30° !)
Erste Lösung der Gleichung als erste der vier Wurzelwerte:
z1 = R * cis (A) ~ 1.554922+ i * 0.897735
Die anderen Lösungen erhält man ,indem man der Reihe nach das
Argument A um 2*Pi/4 = Pi/2 vergrössert
z2 = R * cis(A+Pi/2) = -0.897735 + i*1.554922
z3 = R * cis(A + Pi) = - z1
z4 = R * cis(A + 3*Pi/2) = - z2
Ya estamos !
Con un cordial saludo
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 18:01: |
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Hi Juan,
2. Aufgabe
Wir substituieren z^3 = u und erhalten die quadratische
Gleichung in u :
u^2 - wurzel(2) * u + 1 = 0 mit den beiden Lösungen:
u1 = ½ * wurzel(2) * [1 + i * 1 ]
= ½ * wurzel(2) * cis ( Pi / 4 )
u2 = ½ * wurzel(2) * [1 - i * 1 ]
= ½ * wurzel(2) * cis ( 7 * Pi / 4 )
cis (alpha) bedeutet : cos (alpha) + i sin (alpha)
Um z zu bekommen ,müssen wir aus u1 und u2 je die
dritte Wurzel ziehen; dies ergibt insgesamt sechs Lösungen ,
je drei für jeden u-Wert.
Freude herrscht !
Die Zahlen u haben den Betrag eins; um ihre dritten Wurzeln
zu erhalten, brauchen wir bloss ihre Argumente mit drei zu
dividieren
Wir erhalten der Reihe nach:
z1 = cis (45°/3) = cis ( 15°) ~ 0.9659 + i* 0,2588
z2 = cis (45°/3 +360°/3 ) = cis(135°) ~ - 0.7071+ i*0.7071
z3 = cis (45°/3 +720°/3)= cis(255°) ~ - 0.2588 - i*0.9659
z4 = cis (225°/3) = cis (75°) ~ 0.2588 + i * 0.9659
z5 =.....................= cis (195°) ~ - 0.9659 - i * 0.2588
z6 = ....................= cis (315°) ~ 0.7071 - i * 0.7071
Anmerkung
Die obigen Sinus - und Kosinuswerte lasen sich alle durch
Wurzelterme ausdrücken, z.B.gilt:
cos(15°) = ½ * wurzel [2+wurzel(3)]
u.s.w.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 18:26: |
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Hi Juan,
Es gibt die sogenannte Duplizität der Fälle.
Was ich damit meine:
Siehe nach bei den Aufgaben, die Anna gestellt hat,
welche dann von Fern in souveräner Art gelöst wurden..
Es kann nur nützlich sein, verschiedene
Stilrichtungen bei der Lösung von Aufgaben
kennen zu lernen.
Anm.:
Wenn ich mich nicht täusche, haben wir beide,
Fern und ich, unabhängig voneinander,
dieselben Resultate erhalten.
Man sieht daraus ,wie stabil unser Fach ist ! |
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