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Ein Fixpunktsatz

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Marc
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Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 22:19:   Beitrag drucken

Es sei f: [0,1] -> IR eine stetige Funktion mit f([0,1]) c [0,1].
Zeigen sie, dass f einen Fixpunkt hat, d.h. dass es einen Punkt x0 e [0,1]
mit f(x0) = x0 gibt
(Hinweis: Betrachten sie g(x) := f(x) - x )
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Matroid (Matroid)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Januar, 2001 - 20:31:   Beitrag drucken

Hi Marc,

wenn f einen Fixpunkt hat, dann hat g(x) := f(x) -x eine Nullstelle.
Andererseits, wenn f stetig ist, dann ist auch g stetig.
Nehmen wir nun an, daß g keine Nullstelle hätte (Beweis durch Widerspruch).
Dann ist also
(1.Fall) g(x)>0 für alle xe[0,1] oder
(2.Fall) g(x)<0 für alle xe[0,1].
Das bedeutet aber, daß
im 1. Fall f(x)>x für alle xe[0,1]. Insbesondere mußte dann aber auch f(1)>1 sein. Das ist nicht möglich.
Und im 2. Fall folgt f(0)<0, auch unmöglich.

Gruß
Matroid

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