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Marc
| Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 22:19: |
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Es sei f: [0,1] -> IR eine stetige Funktion mit f([0,1]) c [0,1]. Zeigen sie, dass f einen Fixpunkt hat, d.h. dass es einen Punkt x0 e [0,1] mit f(x0) = x0 gibt (Hinweis: Betrachten sie g(x) := f(x) - x ) |
Matroid (Matroid)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Januar, 2001 - 20:31: |
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Hi Marc, wenn f einen Fixpunkt hat, dann hat g(x) := f(x) -x eine Nullstelle. Andererseits, wenn f stetig ist, dann ist auch g stetig. Nehmen wir nun an, daß g keine Nullstelle hätte (Beweis durch Widerspruch). Dann ist also (1.Fall) g(x)>0 für alle xe[0,1] oder (2.Fall) g(x)<0 für alle xe[0,1]. Das bedeutet aber, daß im 1. Fall f(x)>x für alle xe[0,1]. Insbesondere mußte dann aber auch f(1)>1 sein. Das ist nicht möglich. Und im 2. Fall folgt f(0)<0, auch unmöglich. Gruß Matroid |
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