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Xyz (Xyz)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 21:41: | 
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Hi,
ich benötige unbedingt Hilfe, denn ich finde überhaupt keinen Ansatz:
Sind eine Gruppe G und eine algebraische Struktur S isomorph, so ist S Gruppe.
Wäre toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Danke schon mal. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 22:58: |
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Hi,
na, wenn es eine G und S isomorph sind, dann gibt es eine eineindeutige Abbildung von S in G, die (wegene der Eineideutigkeit) auch umkehrbar ist. Wenn nämlich f:S->G ein Isomorphismus ist, und für ein (beliebigen)seE gilt f(s)= xeM, dann gibt es auch einen Isomorphismus von G in S, den ich f-1 nenne, bei dem f-1(x)=s ist.
Vermöge dieser Eigenschaft kann man nun eine Gruppenstruktur auf S definieren wie folgt:
Seien s und t Elemente aus S, dann definiere die Verknüpfung sot = f-1(f(s)of(t)).
Nun sind für S zusammen mit dieser Verknüpfung die Gruppeneigenschaften nachzuweisen:
Abgeschlossenheit: Zu zeigen ist, daß soteS, das ist aber wegen der Eigenschaften von f und f-1 klar, denn f(s) und f(t) sind aus G, also auch f(s)of(t) (denn G ist ja Gruppe), und die Abbildung f-1 bildet Elemente von G auf Elemente von S ab.
Bleibt noch:
Assoziativität:
Existenz des neutralen Elements:
Existenz des inversen Elements:
Kannst Du es mal selbst versuche, vielleicht ist es ja schon klar geworden, wie das geht.
Gruß
Matroid |
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