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Manu
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 20:02: | 
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hallo!hoffe mir kann jemand helfen!
aufgabe:führe eine mathematische überlegung durch,die zeigt,dass es"gleich viele" ganze wie natürliche zahlen gibt!
und:kann man auch sagen,dass es gleich viele rationale wie natürliche zahlen gibt?
wäre schön,wenn mir jemand hilft!
liebe grüsse! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 23:17: |
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Hi Manu,
ja, das letztere kann man auch sagen.
Aber zuerst zur Behauptung, daß es gleich viele ganze wie natürliche Zahlen gibt.
In der Mathematik sind zwei Mengen gleichmächtig, d.h. haben gleich viele Elemente, wenn es eine umkehrbar eindeutige Zuordnung der Elemente der einen Menge auf die andere Menge gibt.
Bei Mengen mit einer endlichen Zahl von Elementen ist das einfach zu sehen, z.B. sind {A,B,C} und {1,2,3} gleichmächtig. Man wie folgt zuordnen: 1->A, 2->B, 3->C und analog umgekehrt.
Bei Mengen mit unendlich vielen Elementen muß man
also eine Zuordnung finden.
Eine Abbildung der natürlichen auf die ganzen Zahlen ist (z.B.):
0->0
1->-1
2->1
3->-2
4->2
5->-3
6->3
usw.
Diese Abbildung ist eindeutig und umkehrbar. Man kann für jede ganze Zahl die natürliche Zahl angeben, die auf diese ganze Zahl abgebildet wird.
Beispiel: zur ganzen Zahl 31 gehört die natürliche Zahl 62. Zur ganzen Zahl -31 gehört die natürliche Zahl 61.
Die natürliche Zahlen dienen uns gemeinhin zum zählen von Dingen.
Indem man jeder ganzen Zahl eine natürliche Zahl zuordnet, haben wir die ganzen Zahlen also gezählt. Und wir stllen fest, daß die Menge der natürlichen Zahlen ausreicht, um die Menge der ganzen Zahlen zu zählen.
Es gibt also soviele ganze Zahlen wie natürliche Zahlen.
Für den entsprechenden Beweis, daß N und Q gleichmächtig ist, macht man es eigentlich auf die gleiche Weise, braucht aber noch einen auf Cantor zurückgehenden Trick. Das kann ich ja morgen machen, wenn Du willst.
Schreib mal, ob Du bisher mitgekommen bist.
Gruß
Matroid |
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