| Autor |
Beitrag |
    
Dennis
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 01:55: | 
|
Hi leute!
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
In IR³ betrachten wir die Vektoren
u1 := (1,3,5),u2 := (2,1,0), u3 := (7,6,),
w1 := (-3,1,-5), w2 := (0,15,10).
Seien U := < u1,u2,u3 > und W := <w1,w2>.
a) Bestimme eine Basis von U + W.
b) Welche Dimensionen haben U,W,U+W sowie
U Durchschnitt W?
/*Es wäre cool wenn mir jemand behilflich sein
kann/
//Danke dennis. |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 09:57: |
|
Hallo Dennis,
u3=? |
Dennis
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 16:03: |
|
Tut Mir leid ,es ist u3 := (7,6,5);
Danke. |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Januar, 2001 - 11:04: |
|
Hallo Dennis,
Zuerst bestimmen wir eine Basis für U und für W:
Dazu bilden wir eine Matrix mit den ui Vektoren als Spalten und reduzieren nach Gauß. (Ich überlasse diese Rezuzierarbeit immer meinem Computer, du kannst sie aber nachrechnen).
Basis für U
1 2 7 1 0 1
3 1 6 reduziert: 0 1 3
5 0 5 0 0 0
Basisvektoren dort wo Pivots sind.
Basis von U: [u1 und u2]. (müssten geschwungene klammern sein.
die ich aber hier nicht schreiben kann)
=====================
Basis von W: Offensichtlich sind w1 und w2 unabhängig und somit Basis von W.
============
a) Basis von U+W
Wir bilden eine matrix mit den Basisvektoren von U und W als Spalten:
1 2 -3 0 1 0 0 4
3 1 1 15 reduziert: 0 1 0 1
5 0 -5 10 0 0 1 2
Basis: [u1, u2, w1]
====================================
b) Dimensionen (=Anzahl der Basisvektoren)
dim(U) = 2
dim(W) = 2
dim(U+W)= 3
Ich schreibe den Durchschnitt: U^W
dim(U^W) errechnet sich aus:
dim(U^W) = dim(U)+dim(W) -dim(U+W) = 2+2-3= 1
===========================================
Nun ermitteln wir noch eine Basis von U^W (in der Aufgabe nicht gefragt).
Sie besteht also aus nur einem Vektor.
Jeder Vektor aus U hat die Form:
u= l(1;3;5) + µ(2;1;0).........[1]
Jeder Vektor aus W hat die Form:
w= a(-3;1;-5) + ß(0;15;10).....[2]
Wir müssen also l,µ,a,ß so finden, dass
l(1;3;5)+µ(2;1;0) = a(-3;1;-5)+ß(0;15;10) ist.
Dies ergibt 3 homogene Gleichungen mit der Koeffizientenmatrix:
1 2 3 0 1 0 -1 0
3 1 -1 -15 --> 0 1 2 0
5 0 5 -10 0 0 0 1
Wie erwartet: eine freie Variable a.
l = a
µ = -2a
ß = 0
a = a
======
Dies in [1] oder in [2] eingesetzt ergibt:
u = a*(-3;1;5)
w = a*(-3;1;5)
Die gesuchte Basis also: (-3;1;5)
======================================= |
|
