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Arek
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 23:07: | 
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Bestimmen Sie alle Lösungen (z ist ein Element der komplexen Zahlen) der folgenden
Gleichung in Polardarstellung (geben Sie für jeden der Lösungen r>0 und phi ist
ein Element von [2,2Pi) explizit an! Ohne Taschenrechner!
((ln(z))^2-3*ln(z)+3.25-j = 0
Lösungsweg? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 22:40: |
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Hi Arek ,
Um die Gleichung zu lösen, substituieren wir
Ln z = L und erhalten die quadratische Gleichung in L:
L^2 - 3 L +13/4 - i1 = 0
Auflösung;
L1 = 3 / 2 + wurzel( -1 + i 1)
L2 = 3 / 2 - wurzel(- 1 + i 1), daraus
z1 = e ^ ( 3/2 + wurzel.... ),
z2 = e ^ ( 3/2 - wurzel.....).....................................(I)
In einem Zwischenakt berechnen wir die Wurzel aus der
komplexen Zahl (- 1 + i 1) und zwar rein algebraisch.
Die Wurzel selbst wird eine komplexe Zahl sein: ,
die wir mit u + i v bezeichnen wollen, also gilt:
u + i v = wurzel ( - 1 + i 1 ); quadrieren:
u ^ 2 - v ^ 2 + i 2 u v = - 1 + i 1 ,daraus entspringen
zwei Gleichungen für die reellen Zahlen u und v, nämlich:
u ^ 2 - v ^2 = - 1
2 u v = 1 .
Wir eliminieren v und erhalten eine biquadratische Gleichung
für u:
4 u ^ 4 + 4 u ^ 2 - 1 = 0 mit den Lösungen
u = wurzel [(-1 + wurzel(2) ) / 2 ] ,
v = wurzel [( 1 + wurzel(2) ) / 2]
Damit erhalten wir für L1 und L2 die Zahlen:
L1 = 3/2 + u + i v , L2 = 3 / 2 - u - iv ; diese Zahlen sind
in der Darstellung für die Lösungen z1 und z2 Exponenten
von e.
Es ist nun nicht schwierig ,von z1 und z2 je
den Betrag R und das Argument Phi zu berechnen.
Es gilt:
R = e ^ (3/2 + u) , (Phi) = v
Im Einzelnen:
R1 = e ^{3/2 + wurzel [(-1+wurzel(2)) / 2] } ~ 7.064554
R2 = e ^{3/2 - wurzel[ (-1+wurzel(2)) / 2] } ~ 2.843143
Phi 1 = wurzel[(1+wurzel (2) ) / 2] ~ 1.09868
Phi 2 = 2 * Pi - Phi 1 ~ 5.18450
Die numerischen Werte der Lösung zur Konzrolle:
z1 ~ 3.212.. + i 6.291..
z2 ~ 1.2929.. - i 2.532...
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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