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0,999999....=1 oder 0,99999....<1 ?

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Sonstiges » 0,999999....=1 oder 0,99999....<1 ? « Zurück Vor »

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manu
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Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 16:27:   Beitrag drucken

0,999999....=0,(periode)9
was meint ihr,gilt 0,9999...=1 oder 0,9999<1?
teilt mir möglichst 3verschiedene gedankengänge mit(auch mit unterschiedlichen ergebnissen)und euere argumente!bin gespannt!
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Anton Nym
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Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 18:42:   Beitrag drucken

Wenn 0,11111...=1/9 dann ist 0.99999...=9/9=1
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joerg
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Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 15:38:   Beitrag drucken

Den Ansatz halte ich nicht für sehr überzeugend, weil man auch umgekehrt sagen kann:
Wenn 0,999999...=1, dann ist 0,1111111...= 1/9.
Man hat sich also gewissermaßen im Kreis gedreht.

Klar ist, daß egal an der wievielten Stelle der Periode man sich befindet, immer noch ein kleines Stück bis zur 1 fehlt. Eine Portion Mißtrauen ist also angebracht. Im Unendlichen konvergiert dieses "Stück" aber gegen 0, es wird unendlich klein. Man kann sich mit 0,99999.... also so nah an 1 annähern, wie man möchte. In der Analysis nennt man das Epsilontik.
Formal kann man das Problem wie folgt beweisen:

Für 0<q<1 konvergiert die geometrische Reihe mit dem Grenzwert

a + aq + aq^2 +aq^3... = a /(1-q).

Wenn a = 1, gilt der Grenzwert 1/ (1-q)

Nun ist 0,99999.... genau eine solche Reihe, nämlich

9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000....

= 9/10 (1+ 1/10 + 1/100 + 1/1000...)

q ist also 1/10, a ist 1,

es gilt also

9/10 (1/ 0,9) =1.

Ich gebe zu, daß man hier auch nicht unbedingt wirkliche Klarheit gewinnt, weil ein begriffliches Problem formal "erschlagen" wird.

Gruß

Jörg
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Stefan (Stefan26)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 01:33:   Beitrag drucken

Hallo Manu,

vorweg: es gilt 0.9999...=1. Daran gibt es gar keinen Zweifel, siehe obigen Beweis.

Joerg, der Beweis mit dem 1/9 ist aber auch nicht schlecht. Man gehe von der richtigen Entwicklung 1/9 = 0.11111... aus und multipliziere mit 9 durch. [Bei einer konvergenten Potenzreihe darf mit einem Faktor gliedweise multipliziert werden.] Also haben wir 1 = 0.99999...

Nun, einen dritten Beweis kann ich nicht liefern, möchte aber die Sache durch folgendes noch etwas plausibler machen. Ich glaube die Schwierigkeit obige Gleichheit wirklich zu "akzeptieren" liegt in der Anschauung.
Im Abitur hatte ich einen sehr guten Mitschüler mit dem ich öfters dieses Problem diskutierte. Meine verschiedenen Beweise haben ihn zwar überzeugt, aber seine Argumentation war:
Beim Vergleich von 2 pos. reellen Zahlen a und b kann man so vorgehen: man suche die erste unterschiedliche Stelle und vergleiche diese. Wenn diese von a kleiner, dann ist auch a kleiner und die folgenden Stellen brauchen nicht mehr betrachtet zu werden z.B. 4.1345 und 4.2345. Nun bei 0.99999... und 1 ist 0<1.

Nun unser Beispiel zeigt, daß man so eben nicht argumentieren darf. Ein Vergleich geht nur bei Eindeutigkeit der Darstellung und die haben wir bei einer g-adischen Entwicklung eben nicht. Genau hier sitzt der Haase im Pfeffer. Bei abbrechender Entwicklung ist diese Argumntation aber zulässig, dies ist aber uninteressant, da man so nur rationale Zahlen vergleichen kann deren Nenner höchstens die Primfaktoren 2 und 5 enthalten.

Weiteres Verständnis erlangt man, wenn man höherwertige Ziffern zulässt. Z.B. ist dann
3,(3)(-17)(11) = 3 + 3/10 - 17/100 + 11/1000 = 3,141
Die Sprechweise drei komma vierzehn für 3,14 sollte man besser nicht benutzen.

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