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Traidon (Traidon)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 16:32: | 
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Hallo, ich habe mal wieder keinen Ansatz, wer kann mir helfen?
Man begründe, dass die Menge aller surjektiven Funktionen A->A mit der Verkettung als binäre Operation nicht - kommutative Halbgruppe mit idA
als neutralem Element bildet. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 18:30: |
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Hallo Traidon,
zur Begründung kannst Du ein Beispiel konstruieren.
Sei A = {1,2,3}
Die Abbildung id:A->A mit id(a)=a ist surjektiv.
Ebenso die Abbildung f:A->A mit f(1)=2 und f(2)=3, f(3)=1.
Eine weitere Abbildung ist g:A->A mit g(1)=1, g(2)=3, g(3)=2.
Nun betrachte fog:
fog(1) = f(g(1))=f(1) = 2
fog(2) = f(g(2))=f(3) = 1
fog(3) = f(g(3))=f(2) = 3
Aber
gof(1) = g(f(1))=g(2) = 3
gof(2) = g(f(2))=g(3) = 2
gof(3) = g(f(3))=g(1) = 1
Damit ist gezeigt, daß die Menge der surjektiven Abbildungen von A->A mit der Verkettung auf jeden Fall nicht kommutativ ist.
Bleibt noch zu zeigen, daß es sich überhaupt um eine Halbgruppe handelt.
Dazu sind die Axiome:
Abgeschlossenenheit d.h. die Verkettung zweier surjektiver Funktionen ist wieder eine surjektive Funktion.
Assoziativität
Existenz des neutralen Elements
zu zeigen.
Abgeschlossenheit ist aber klar, denn wenn f und g zweei beliebiege surjektive Abbildungen sind, dann ist enthält das Bild f(A) alle Elemente aus A. Und das g auch surjektiv ist, ist g(A) = A, also gof auch surjektiv.
Assoziativität muß man nicht mehr zeigen, wenn man voraussetzt, daß die Verkettung beliebiger Abbildungen assoziativ ist. Da sind die surjektiven Abbildungen dann nur noch ein enthaltener Spezialfall.
Das Neutrale Element existiert, denn die identische Abbildung ist ja surjektiv, gehört also zur Menge der surjektiven Abbildungen.
Gruß
Matroid |
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