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Beweis der geometrischen Reihe

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Jens Stegemann (Tiberius)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 16:16:   Beitrag drucken

Hallo!

Wir sollen die endliche gemotrische Reihe beweisen, also:

Summe[k=0 bis n](x^k) = 1 - x^(n+1) / (1-x)

für alle x ungleich 1.

Hat jemand eine Ahnung, wie das geht. Bei vollständiger Induktion kommme ich leider nicht bis zum Ende durch.
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ö
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Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 21:41:   Beitrag drucken

Mal sehn...

x ist Konstante ungleich 1.
summe[k=0 bis n](x^k)=1-x^(n+1)/(1-x)

(Induktionsanfang such ich später)
Induktionsschritt:
Ist summe[k=0 bis (n+1)](x^k) = 1- x^(n+2)/(1-x) ?

summe[k=0 bis (n+1)](x^k)=summe[k=0 bis n](x^k) +x^(n+1)
=1-x^(n+1)/(1-x)+x^(n+1)
=(1-x-x^(n+1))/(1-x)+x^(n+1)
=(1-x-x^(n+1)+x^(n+1)-x^(n+2))/(1-x)
=((1-x)-x^(n+2))/(1-x)
=(1-x)/(1-x)-x^(n+2)/(1-x)
=1-x^(n+2)/(1-x)
=>Die Dominosteine für die Induktion sind aufgestellt.
Jetzt muß nur noch einer gefunden werden, der als
Induktionsanfang angetippt wird.
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ö
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Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 22:07:   Beitrag drucken

Ich hab das mal für n=0 und n=5 durchgerechnet,
es kommt dabei nur Unsinn heraus:
n=0:
summe[k=0 bis 0](x^k)=x^0=1;
aber:1-x^(n+1)/(1-x)=1-x^(0+1)/(1-x)=1-x/(1-x)
woraus folgt, daß x=0, d.h. mit x=0 klappt die Induktion.
Fragt sich nur, ob jemand dazu bereit ist, 0^k aufzusummieren...

n=5:
summe[k=0 bis 5](x^k)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5
aber:1-x^(n+1)/(1-x)=1-x^6/(1-x)...

Das ist wahrscheinlich eine dieser Spezialaufgaben, bei denen
die Formel an sich zwar durch Induktion bewiesen werden kann,
aber kein Induktionsanfang zu finden ist. Prima zum Leute
erschrecken.

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