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Jens Stegemann (Tiberius)
| Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 16:16: |
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Hallo! Wir sollen die endliche gemotrische Reihe beweisen, also: Summe[k=0 bis n](x^k) = 1 - x^(n+1) / (1-x) für alle x ungleich 1. Hat jemand eine Ahnung, wie das geht. Bei vollständiger Induktion kommme ich leider nicht bis zum Ende durch. |
ö
| Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 21:41: |
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Mal sehn... x ist Konstante ungleich 1. summe[k=0 bis n](x^k)=1-x^(n+1)/(1-x) (Induktionsanfang such ich später) Induktionsschritt: Ist summe[k=0 bis (n+1)](x^k) = 1- x^(n+2)/(1-x) ? summe[k=0 bis (n+1)](x^k)=summe[k=0 bis n](x^k) +x^(n+1) =1-x^(n+1)/(1-x)+x^(n+1) =(1-x-x^(n+1))/(1-x)+x^(n+1) =(1-x-x^(n+1)+x^(n+1)-x^(n+2))/(1-x) =((1-x)-x^(n+2))/(1-x) =(1-x)/(1-x)-x^(n+2)/(1-x) =1-x^(n+2)/(1-x) =>Die Dominosteine für die Induktion sind aufgestellt. Jetzt muß nur noch einer gefunden werden, der als Induktionsanfang angetippt wird. |
ö
| Veröffentlicht am Dienstag, den 09. Januar, 2001 - 22:07: |
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Ich hab das mal für n=0 und n=5 durchgerechnet, es kommt dabei nur Unsinn heraus: n=0: summe[k=0 bis 0](x^k)=x^0=1; aber:1-x^(n+1)/(1-x)=1-x^(0+1)/(1-x)=1-x/(1-x) woraus folgt, daß x=0, d.h. mit x=0 klappt die Induktion. Fragt sich nur, ob jemand dazu bereit ist, 0^k aufzusummieren... n=5: summe[k=0 bis 5](x^k)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5 aber:1-x^(n+1)/(1-x)=1-x^6/(1-x)... Das ist wahrscheinlich eine dieser Spezialaufgaben, bei denen die Formel an sich zwar durch Induktion bewiesen werden kann, aber kein Induktionsanfang zu finden ist. Prima zum Leute erschrecken. |
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