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Kay Schönberger (Kay_S)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 15:07: | 
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Hallo, Mathematik-Fans!
Ich beschäftige mich seit einiger Zeit mit Zahlen der Form p*2^p +- 1 (p=Primzahl) und versuche mich dabei krampfhaft im Faktorisieren. Dabei sind mir folgende Dinge aufgefallen:
1. p sei eine Primzahl. Wenn q=p+2 auch eine Primzahl ist (d. h. p und q bilden ein Primzahlzwilling), dann scheint q immer ein Teiler der Zahl p*2^p + 1 zu sein (getestet bis
p=239). Der Umkehrschluß scheint auch zu stimmen (d. h. wenn für q die o. g. Teilbarkeit gilt, handelt es sich bei q um eine Primzahl). Ist da etwas Wahres dran oder handelt es sich
nur um eine "Fata Morgana"?
2. Der Term p*2^p + 1 (für Primzahlen p) ergibt selbst nie eine Primzahl. Warum?
3. Für eine persönliche Tabelle brauche ich die Primfaktorzerlegung der Zahl 1187*2^1187 + 1. Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus.
Kay S. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 21:09: |
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Hallo Kay,
zu 1.
Kennst du den "kleinen Satz von Fermat"?
Wenn q eine Primzahl ist, dann gilt
aq-1 = 1 mod q
für 0 < a < q.
(Ich hoffe, diese Schreibweise ist dir geläufig.)
Mit a = 2 folgt 2q-1 = 1 mod q.
Also
p 2p + 1
= p 2p + 2q-1
= p 2p + 2p+1
= (p + 2) 2p
= q 2p
= 0 mod q.
Somit ist q ein Teiler von p 2p + 1, wenn q = p + 2 eine Primzahl ist. (p muss hier übrigens keine Primzahl sein.) |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 21:56: |
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Hallo Kay
Sehr interessante Fragestellung. An der Faktorisierung brütet momentan mein
Rechner, aber ich mache mir irgendwie wenig Hoffnung, dass er noch in diesem
Jahrtausend fertig wird. Ich muss noch ein bisschen für ne Klausur morgen
lernen, werde mich aber dahinterklemmen. Zu Deiner letzten Behauptung würde
mich interessieren, womit Du es schon versucht hast? Umkehrung des kleinen
Satzes von Fermat? Der Miller-Rabin-Test scheint mir hier sinnvoll, muss mir
nochmal ganz genau die Def. anschauen.
Eine Frage noch: Eingangs hast Du noch das -1 erlaubt. Nur der
Volständigkeit halber, oder kamst Du dabei einfach auf keinen grünen Zweig?
Es kommt ja hinterher in Deinen Behauptungen nicht mehr vor...
Auf ein frohes gemeinsames Froschen...
viele Grüße
Spockgeiger |
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