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Felix
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 13:37: | 
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Also hallo Leute
ich hab gaaaaanz furchtbares
Problem und ich komm auf keine
Lösung könnte mir da vielleicht
einer helfen???
Also wir nehmen an, das wir im
Jahr 0 eine Pflanze haben, diese
Pflanze bekommt pro Jahr 2 Nachkömmlinge,
und die wiederum bekommen natürchlich
auch wieder Nachkömmlingen, so weit ist
das ja noch einfach. Ich hab jetzt eine
Einfache Formel hergeleitet die wie folgt
lautet (k+1)^n *a
Wobei k die Anzahl der Nachkömmlinge also
in dem Fall 2, n die Jahre und a wieviel
Pflanzen am Anfang vorhanden sind also 1
Das ist ja noch recht einfach wenn ich jetzt
wissen will wieviel Pflanzen nach 10 Jahre
vorhanden sind. Aber wenn ich jetzt annehm,
das jede Pflanze nur 3 Jahre lebt, was ist dann
ich komm auf keine Lösung kann mir da
vielleicht jemand helfen, wer echt nett!!!!!!
MFG Felix |
IQzero
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 23:04: |
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Hi Felix!
Vorweg: Das ist wirklich ein echt cooles Problem!!!
Ich gehe jetzt zuerst einmalmal davon aus, dass es im Jahre 0 nur eine Pflanze gibt, jede Pflanze zwei Nachkommen pro Jahr hat und unsterblich sei. Die Folge a(n) gebe die Anzahl der Pflanzen an, dann gilt rekursiv:
a(0) = 1
a(n) = a(n-1) + 2 a(n-1)
a(n-1) <-- Anzahl der (weiter) lebenden Pflanzen aus Vorjahr
2 a(n-1) <-- Anzahl der in diesem Jahr neu 'geborenen' Pflanzen
=> a(0) = 1 ; a(n+1) = 3 a(n)
Explizit ergibt sich daraus:
a(n) = 3^n
und das deckt sich genau mit Deinem gefundenen Ergebnis.
Jetzt gehe ich davon aus, dass die Pflanze nur 2 Jahre lebt und ich definiere wieder eine rekursive Folge a(n), die nun aber nicht mehr die Summe aller Pflanzen angibt, sondern nur noch die Pflanzen der n-ten Generation. Die erste Pflanze gibt es jetzt aber erst im Jahre Eins. Dann gilt:
a(0) = 0
a(1) = 1
a(n) = 2 a(n-1) + 2 a(n-2)
Hierbei wird jetzt berücksichtigt, dass die aktuelle Generation nur von 'Eltern' 'geboren' wird, die noch leben (also aus den letzten beiden Genarationen)
Diese Folge ähnelt übrigens der Fibonacci-Folge!
Um eine explizte Darstellung dieser Folge zu erhalten, rechnen löse ich die characteristische Gleichung zur Rekursionsformel:
q^n = 2 q^(n-1) + 2 q^(n-2)
=> q² - 2q - 2 = 0
=> q1 = 1+Ö3 ; q2 = 1-Ö3
Die explizite Formel muss dann die Form haben:
a(n) = x q1^n + y q2^n
für irgendwelche x und y. Diese lassen sich über die gegebenen Bedingungen a(0) = 0 und a(1) = 1 errechnen.
Dann gilt wegen a(0) = 0
0 = x (1+Ö3)^0 + y (1-Ö3)^0
=> y = -x
wegen a(1) = 1
1 = x (1+Ö3)^1 + y (1-Ö3)^1
=> 1 = x (1+Ö3)^1 - x (1-Ö3)^1
=> x = 1/6 Ö3
y = -x
=> y = -1/6 Ö3
also lautet die expliziete Darstellung der Folge:
a(n) = 1/6 Ö3 (1+Ö3)^n -1/6 Ö3 (1-Ö3)^n
Das war aber noch nicht ganz das, was Du wissen wolltest. a(n) gibt ja nur die Pflanzen der n-ten Generation an. Dich interessierte die Anzahl der nach n Jahren lebenden Pflanzen. Das ist jetzt aber nicht mehr schwer. Da nur 2 Generationen gleichzeitig leben, gilt für die lebendigen Pflanzen s(n) nach n Jahren:
s(n) = a(n) + a(n-1)
=> 2 s(n) = 2 a(n) + 2 a(n-1)
=> 2 s(n) = a(n+1)
=> s(n) = 1/2 a(n+1)
=> s(n) = 1/12 Ö3 (1+Ö3)^(n+1) -1/12 Ö3 (1-Ö3)^(n+1)
Mich würde interessieren ob das nachvollziebar ist und sich mit Euren Ergebnissen deckt, oder ob jemand etwas anderes heraus hat oder logische Fehler findet.
Bis dann... |
Felix
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 01:29: |
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Hey Danke
aber leider versteh ich das
nicht könntest du das noch
genauer erläutern??? Wäre
echt
MFG Felix |
IQzero
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 19:24: |
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Hi Felix!
Ich werde versuchen, mal noch genauer zu erläutern, was ich mir so überlegt habe.
Ich gehe wieder davon aus, dass die Pflanze nur 2 Jahre lebt und jedes Jahr 2 Nachkommen hat und dass die erste Plfanze im Jahr Eins gepflanzt wird.
Bei diesem Problem erscheint es mir sehr schwer gleich eine Formel anzugeben, in der die Jahreszahl n vorkommt und mit der man dann direkt die Anzahl der Pflanzen bestimmen kann. (Eine solche Formel nennt man 'explizit')
Ich finde es hier einfacher, die Pflanzen in Generationen einzuteilen und ich setze fest, dass a(n) die Anzahl der Pflanzen der n-ten Generation sein soll. Konkret bedeutet das:
a(0) = 0
{ im Jahr 0 gab es noch keine Pflanze }
a(1) = 1
{ im Jahr 1 pflanzen wir die erste Plflanze }
a(2) = 2
{ im Jahr 2 gibt es 2 neue Pflanzen (der 2. Generation), die beiden 'Kinder' der ersten Pflanze }
a(3) = 2*1 + 2*2 = 6
{ im Jahr 3 werden insgesamt 6 neue Pflanzen (der 3. Generation) geboren: die beiden neuen 'Kinder' der 1. Pflanze und jeweils 2 'Kinder' der beiden Pflanzen der 2. Generation }
a(4) = 2*2 + 2*6 = 16
{ im Jahr 4 werden insgesamt 16 neue Pflanzen (der 4. Genaration) geboren: die beiden Pflanzen der 2. Generation bekommen jeweils 2 'Kinder' und die 6 Pflanzen der 3. Generation bekommen auch jeweils 2 'Kinder'. Die Pflanze der 1. Generation bekommt keine 'Kinder' mehr, da sie jetzt selbst das zeitliche gesegnet hat. }
Man sieht, dass die neuen Pflanzen nur aus den letzten beiden Generationen entstehen können, da die noch älteren gestorben sind. Die neue Generation setzt sich aus dem doppelten der vorletzten und dem doppelten der letzten Generation zusammen. D.h. man kann die neue Generationsgrösse aus den letzten beiden Generationen errechnen:
a(5) = 2*a(4) + 2*a(3) = 44
a(6) = 2*a(5) + 2*a(4) = 120
a(7) = 2*a(6) + 2*a(5) = 328
usw...
Allgemein kann man dann auch sagen:
a(n) = 2*a(n-1) + 2*a(n-2)
=====================
Wir haben also jetzt eine Formel mit deren Hilfe wir die Generationsgrössen der Reihe nach berechnen können, da wir auch noch wissen, dass a(0) = 0 und a(1) = 1 ist. Eine solche Formel nennt man 'rekursiv'. Wenn man wissen möchte, wie gross die 1000. Generation ist, dann muss man ca. 1000 Rechnungen machen, bevor man das rauskriegt. Das ist der Nachteil an der 'rekursiven' Formel. Der Vorteil liegt darin, dass sie oft einfacher zu finden ist.
Es gibt aber eine mathematische Methode eine rekursive Formel von unserer Form in eine explizite Formel umzuwandeln. Dazu ersetzt man a(n) durch q^n und löst zunächst mal die erhaltene Gleichung:
q^n = 2 q^(n-1) + 2 q^(n-2)
{ beide Seiten der Gleichung /q^(n-2) }
=> q² = 2q + 2
{ beide Seiten -2q -2 }
=> q² -2q -2 = 0
{ quadratische Gleichung lösen }
q1 = 1+Ö3 ; q2 = 1-Ö3
Mit Hilfe dieser beiden gefundenen Lösungen der Gleichung kann man nun die die explitite Formel angeben. Sie hat die Form:
a(n) = x * q1^n + y * q2^n
a(n) = x * (1+Ö3)^n + y * (1-Ö3)^n
Das einzige was jetzt noch fehlt sind die Zahlen x und y. Sie hängen von den beiden Anfangswerten a(0) und a(1) ab. Da a(0) = 0 ist wissen wir, dass bei unserer Formel 0 herauskommen muss, wenn wir für n Null einsetzen:
x * (1+Ö3)^0 + y * (1-Ö3)^0 = 0
=> x*1 + y*1 = 0
=> y = -x
Da a(1) = 1 ist wissen wir, dass bei der Formel 1 herauskommen muss, wenn wir für n Eins einsetzen:
x * (1+Ö3)^1 + y * (1-Ö3)^1 = 1
=> x * (1+Ö3) + y * (1-Ö3) = 1
{ setze -x für y }
=> x * (1+Ö3) -x * (1-Ö3) = 1
=> x + xÖ3 - x + xÖ3 = 1
=> x*2Ö3 = 1
=> x = 1 /(2Ö3)
{ Nenner rational machen indem man mit Ö3 erweitert }
=> x = 1/6 Ö3
{ da y = -x war }
=> y = -1/6 Ö3
nun haben wir alles, was wir für die (komplizierte) explizite Formel brauchen:
a(n) = x * q1^n + y * q2^n
a(n) = 1/6 Ö3 (1+Ö3)^n - 1/6 Ö3 (1-Ö3)^n
===============================
Auch wenn die Formel nicht so aussieht, da kommen wirklich die Zahlen 0, 1, 2, 6, 16, 44, ... heraus wenn Du für n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... einsetzt. Probier das doch mal aus ...
Jetzt haben wir eine Formel gefunden, die die Anzehl der n. Generation angibt. Eigentlich wollten wir aber wissen wieviele Pflanzen es nach n Jahren insgesamt gibt. Da die Pflanzen nach 2 Jahren sterben, besteht die Gesamtzahl der Pflanzen nur aus den beiden jüngsten Generationen. Wenn s(n) die eigentlich gesuchte Gesamtzahl der Pflanzen ist, dass gilt:
s(n) = a(n) + a(n-1)
Konkret bedeutet das:
s(1) = 1
s(2) = 3
s(3) = 8
s(4) = 22
s(4) = 60
usw ...
Wenn man genau hinsieht erkennt man, dass die Gesamtzahl der Pflanzen genau die Hälfte der Pflanzenzahl der folgenden Generation ist. Das lässt sich auch mathematisch Begründen:
s(n) = a(n) + a(n-1)
{ beide Seiten *2 }
=> 2 s(n) = 2 a(n) + 2 a(n-1)
{ 2 a(n) + 2 a(n-1) war ja a(n+1) }
=> 2 s(n) = a(n+1)
=> s(n) = 1/2 a(n+1)
Da wir eine Formel für a(n) kennen haben kennen wir auch 1/2 a(n+1)
s(n) = 1/12 Ö3 (1+Ö3)^(n+1) - 1/12 Ö3 (1-Ö3)^(n+1)
Ich hoffe diese Version ist jetzt verständlicher geworden. Inhaltlich ist es genau das selbe wie die davor. Falls Dich die Methode aus einer rekursiven eine explizite Formel zu machen genauer interessiert, dann such dir mal was zu den berühmten Fibonacci Zahlen heraus. Die lauten: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Die nächste Zahl ist jeweils die Summe der beiden vorangegangenen. Wenn man dafür eine Formel herleiten möchte, dann geht das im Prinzip genauso wie hier.
Übrigens: Wenn Deine Pflanzen pro Jahr statt 2 nur 1 'Kind' bekommen, dann entspricht die Gesamtzahl der Pflanzen genau der Fibonacci-Folge!!!
P.S.: Wo ist die Aufgabe überhaupt her? Selbst ausgedacht oder wurde sie dir gestellt? |
Felix
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 15:35: |
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O.K. Also
jetzt hab ich es
vestanden nochmal
ganz herzlichen dank
dafür!!!!!
Zu deiner Frage, ich
hab mir die Aufgabe
selber ausgedacht!!!!
Studierst du eigentlich
Mathe oder woher
weißt du das ganze Zeug???
MFG Felix |
IQzero
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 19:33: |
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Hi Felix!
Deine Aufgabe ist wirklich Klasse!!! Ich kann das ganze Zeug übrigens weil ich Informatik studiere. Da kommt auch viel Mathe drin vor. Ausserdem gebe ich in Mathe Nachhilfe. Ich hätte auch nicht gedacht, dass man das mal gebrauchen kann um eine 'normale' Aufgabe zu lösen. |
Felix
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 21:38: |
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Hey dann bin ich ja
an den richtigen ge-
raden!!!!! Ich will
auch mal Informatik
studieren!!!! In
welchem Semester bist
du denn??? Und was kann
man sich darunter vorstellen???
Also
MFG Felix |
IQzero
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 23:28: |
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Hi Felix!
Dass Du Informatik studieren möchtest finde ich gut! Ich denke wir sollten aber die Inhalte des Studiums und sowas nicht hier öffentlich, sondern besser per e-Mail besprechen, da das wahrscheinlich nicht von allgemeinem Interesse ist. |
Andreas (Andy1605)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Februar, 2001 - 20:06: |
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Also das ganze hat auch mir ziemlich weitergeholfen.
Also Danke nochmal an IQZero (der Name ist echt understatement in Reinkultur)
Eine Frage hätte ich dann aber noch.
Wie stelle ich das mit dem char.Polynom an, wenn ich z.B. A(n)= A(n-1)+2n+1 habe?
Irgendwie bekomme ich da die n's in dem Polynom nicht los.
Wäre cool, wenn Du das auch noch mal so schön erklären könntest.
CU.
Andy |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 00:37: |
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Hallo Andreas
In solchen Fällen muss man die störenden Terme mit Umformungen loswerden:
Zunächst wenden wir uns den n-Termen zu:
A(n+1)=A(n)+2(n+1)+1
A(n)=A(n-1+2n+1
Subtrahieren wir die zweite Gleichung von der ersten, erhalten wir:
A(n+1)-A(n)=A(n)-A(n-1)+2
Hier wollen wir noch den konstanten term eliminieren, daher substituieren wir n für n+1:
A(n)-A(n-1)=A(n-1)-A(n-2)+2
Dies subtrahieren wir von der Gleichung davor, und erhalten:
A(n+1)-2A(n)+A(n-1)=A(n)-2A(n-1)+A(n-2)
Hierauf kann man das verfahren wiederum anwenden.
viele Grüße
SpockGeiger |
Andreas (Andy1605)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 14:13: |
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Ok,
anngenommen A(n)=A(n-1)+2n mit A(1)=4;
A(n+1)=A(n)+2(n+1)
-( A(n)=A(n-1)+2n )
---------------------
A(n+1)-A(n)=A(n)+2n+2-A(n-1)-2n
--> A(n+1)-A(n)=A(n)-A(n-1)+2
jetzt die Substitution von n für (n+1):
A(n)-A(n-1)=A(n-1)-A(n-2)+2
-( A(n+1)-A(n)=A(n)-A(n-1)+2 )
------------------------------
A(n)-A(n-1)-A(n+1)+A(n)=A(n-1)-A(n-2)-A(n)+A(n-1)
das gibt dann als char Polynom:
-q^3+3q^2-3q+1=0
das gibt eine dreifache Nullstelle bei q=1.
nach dem Lösungsansatz s.o. müsste ich dann:
A(1)=4=x*1^1+y*1^1+z*1^1
A(2)=8=x*1^2+y*1^2+z*1^2
A(3)=14=x*1^3+y*1^3+z*1^3
lösen. ???
Was hab ich denn hier falsch gemacht?
CU.
Andy |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 16:39: |
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Hallo Anreas
bei mehrfachen Nullstellen muss man anders vorgehen, da x1^n,...xp^n nicht linear unabhängig sind. Stattdessen nimmt man die Funktionen (ich nummeriere die Nullstellen nicht mehr durch, da sie ja gleich sein sollen) x^n,n*x^n,n²*x^n,...n^p*x^n, und zwar für die jeweiligen mehrfachen Nullstellen.
viele Grüße
SpockGeiger |
Andreas (Andy1605)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 20:11: |
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Hallo,
Das versteh ich jetzt nicht ganz.
Auf das Beispiel oben angewendet würde mir das vielleicht weiterhelfen.
Würdest Du mir den Gefallen tun?
Danke.
Andy |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 23:07: |
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Hallo Andreas
zunächst möchte ich mich bei IQZero entschuldigen, mich in den Dialog eingemischt zu haben. Ich hoffe, Du siehst das mehr als Entlastung.
Du hast prinzipiell schon richtig gesehen, dass Du für drei Anfangswerte das Gleichungssystem lösen musst.
Aber der Ansatz ist A(n)=x*1^n+y*n*1^n+z*n²*1^n=x+y*n+z*n², daher für die ersten drei Werte:
4=x+y+z
8=x+2y+4z
14=x+3y+9z
Das musst Du lösen, und in den Ansatz davor einsetzen.
viele Grüße
SpockGeiger |
Andreas (Andy1605)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 14:47: |
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Hallo,
und Danke.
Funktioniert prima und es kommt sogar die richtige Lösung raus.
CU.
Andy |
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