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Dilek
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 10:35: | 
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Aufgabe:n Punkte seien auf einem Kereis angeordnet. Jeweils zwei Punkte werden mit Wahrscheinlichkeit p miteinander durch eine Strecke verbunden, von Paar zu Paar unabhängig voneinander. Aus jeweils drei Punkten kann so ein Dreieck mit vollständigen Sieten entstehen . Sei X die Anzahl der entstandenen Dreiecke.
i)Wieviele Dreiecke können höchstens entstehen?
ii)Was ist der Erwartungswert von X? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 21:11: |
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Hi Dilek,
bist Du schon weiter gekommen? Ich hab bisher nur ein bischen was dazu.
Man kann sich überlegen, wieviele Dreiecke es maximal geben kann. Für n (>=3) Punkte ist die maximale Anzahl der Dreiecke = (n3). das ist die Anzahl der Möglichkeiten aus n Punkte auf verschiedene Weise dreielementige Teilmenge zu bilden.
Nun zu b) Es gibt (n3) dreielemtige Punktmengen. Wie groß ist die Wkeit, das eine bestimmte aber beliebige davon ein Dreieck bildet, weil je zwei Punkte davon durch eine Strecke verbunden sind? Das ist p³.
Wir können auch andere 3 Punkte wählen. Daß diese ein Dreicke bilden (weil sie durch Strecken verbunden sind) hat auch die W'keit p3.
Wenn man den Erwartungswert der Zufallsvariablen
X = Anzahl der gebildeten Dreiecke
bestimmen muß, dann benötigt man die W'keitsfunktion f(x) für x=0,1,...,(n3).
Leider ist die Aufgabe unangenehm, denn wenn da (n2) Punktepaare sind, die mir W'keit p jeweils durch eine Strecke verbunden sind, dann ist es für ein Dreieck einfach. Aber ein anderes Dreieck hat möglicherweise eine Seite mit dem vorigen Dreieck gemeinsam.
Bei z.B. 5 Punkte kann man sich überlegen wieviele Strecken man höchstens einzeichnen kann, ohne daß irgendwo ein Dreieck entsteht. Durch eie Strecke mehr entsteht dann mindestens 1 Dreieck.
Na, so weit bin ich, wie weit bist Du?
Gruß
Matroid |
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