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Beitrag |
    
Arek
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Januar, 2001 - 22:46: | 
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Bestimmen Sie alle Lösungen (z ist ein Element der komplexen Zahlen) von:
z^5-4z^3-(Wurzel 2)*(1+j)*z^2+(Wurzel 32)*(1+j)=0
in Polardarstellung.
Lösungsweg? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 11:38: |
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Hi Arek,
Deine Gleichung hat die reellen Lösungen
z1 = 2 und z2 = -2 , wie man mit etwas Spürsinn
herausfindet und leicht nachrechnet.
Wir dividieren das Gleichungspolynom,
d.h.die linke Seite der Gleichung mit
( z - z1 ) * ( z- z2 ) = z ^ 2 - 4 ;
das Resultat der Division lautet:
Q = z ^ 3 - wurzel(2) - i * wurzel(2)
Um die übrigen Lösungen zu finden, setzen wir Q = 0,
d.h. wir müssen die drei Lösungen der dritten Wurzel
aus der komplexen Zahl w = wurzel(2)* [ 1 + i1 ]
bestimmen.
Die trigonometrische Form von w lautet:
w = 2 * [cos (Pi/4) + i * sin (Pi/4)],
denn w hat den Betrag 2 und das argument Pi / 4
Wir schreiben für cos (u) + i*sin (u) kürzer cis(u)
Dann gilt:
w =2 * cis(Pi/4),daraus entspringen drei Werte der
dritten Wurzel aus w als weitere Lösungen z3,z4,z5
Deiner Gleichung, nämlich:
z3 = 2 ^ (1/3) * cis (Pi/12) ~ 1.217 + i * 0.326
z4 = 2 ^ (1/3) * cis (3*Pi/4) ~ - 0.891 + i * 0.891
z5 = 2 ^ (1/3) * cis (17*Pi/12) ~ - 0.326 - i*1.217
Sind noch Detailfragen zu beantworten ?
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Arek
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 22:37: |
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Danke |
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