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Bender
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Dezember, 2000 - 17:31: | 
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Hallo!
Wie zeigt man, dass sinh: R => R eine differenzierbare Umkehrfunktion besitzt und wie kann man deren Ableitung berechnen ?
Danke,
Bender |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Dezember, 2000 - 15:16: |
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Hi Bender,
Wir stellen zusammen, was wie im Verlauf der Herleitung
benötigen.
1) Für den Hyperbelsinus und den Hyperbelkosinus gilt die
Beziehung:
(cosh x ) ^ 2 = (sinh x ) ^2 + 1...........................................(1)
2) sin h x und cos h x sind als Aggregate der Exponentialfunktion
überall differenzierbar
3) Die Ableitung von sinh x nach x ist cosh x
( sinh x ) ' = cosh x...........................................................(2)
4) Die Umkehrfunktion g(y) von f(x) ist differenzierbar,
wenn f(x) differenzierbar ist und f '(x) nicht null ist.
Es gilt dann
g ' ( y ) = 1 / [ f ' (x) ]..........................................................(3)
5) y = arsinh x ist die Umkehrfunktion von y = sinh x,
y = arsinh x bedeutet somit x = sinh y
Ermittlung der Ableitung y' = dy/dx von y = arsinh (x):
Aus x = sinh y folgt dx / dy = cosh y =
wurzel [(sinh y ) ^ 2 + 1] = wurzel [ x ^ 2 + 1],
also
y' = dy/dx = 1 / wurzel[ x ^ 2 + 1 ]
Dasselbe auf Umwegen
Wir stellen zuerst arsinh x als eine zusammengesetzte
Logarithmusfunktion dar, nämlich:
arsinh x = ln { x + wurzel [x^2+1] } und erkennen einiges
Definitionsbereich: alle reellen Zahlen ohne Einschränkung
Wertebereich: dasselbe
Monotonie: streng monoton wachsend
Symmetrie: Punktsymmetrie zum Ursprung
Nullstelle: x = 0
Pole : keine
Differenzierbarkeit: überall.
Darstellung
Aus x = sinh y wird y berechnet mittels der Beziehung
x = [e ^ y - e ^ ( - y ) ] / 2 ; die Substitution e^y = z
führt auf die quadratische Gleichung in z:
z ^ 2 - 2 x * z - 1 = 0 ; es zählt nur die (positive ) Lösung:
z = e ^ x = x + wurzel [x^2 +1], also :
y = ln [ x+ wurzel ( x ^ 2 + 1 ) ] ;
dies leiten wir nun mit der Kettenregel nach x ab und erhalten
nach gehöriger Umformung das Resultat von früher.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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