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Hauke (Hauke)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Dezember, 2000 - 23:55: | 
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Hallo zusammen!
Was unterscheidet einen Körper von einem kommutativen Ring mit 1?
Laut der Definition, die ich gefunden habe, ist ein kommutativer Ring mit 1 ein Körper ohne Nullelement, der keine abelsche Gruppe ist. Als Beispiel ist die Menge der ganzen Zahlen angeführt, aber ich weiss nicht, warum das Fehlen der Eigenschaften einer abelschen Gruppe Z zu einem komm. Ring mit 1 macht.
Ach ja, gibt´s auch Ringe ohne 1 und nicht kommutative Ringe?
Dankeschön,
Hauke |
Markus
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 06:01: |
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Also ganz allgemein ist ein Ring eine Gruppe von
Zahlen, denen die Null fehlt (gilt wahrscheinlich
auch für andere Zahlen, weiß nicht genau). Das heißt, bei einer modulo-Addition oder -Multiplikation kommt zwar Null (oder andere Zahl) heraus, die aber kein Element der Gruppe ist.
WM_ichhoffedashilft Markus |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 11:37: |
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Hallo allerseits,
ein Ring hat immer ein Nullelement! In Z ist ja auch die 0 drin.
Ein Körper ist ein spezieller kommutativer Ring mit 1. Man kann dort nämlich dividieren. Genauer gibt es zu jedem a, das nicht das Nullelement ist, ein b mit a b = 1.
Eine Körper ist also immer auch ein kommutativer Ring mit 1, nicht aber umgekehrt.
Bei der Unterscheidung Körper/Ring - abelsche Gruppe musst du aufpassen, denn ein Körper/Ring hat zwei Operationen (+ und *) und eine Gruppe nur eine.
Bzgl. "+" ist ein Körper/Ring eine abelsche Gruppe, bzgl. "*" nicht. In einem Körper K bildet die Menge K* = {a aus K | a ungleich 0} jedoch bzgl. der Multiplikation eine Gruppe. (Diese Aussage unterscheidet sich von der Aussage "ein Körper ohne Nullelement ist eine abelsche Gruppe", denn, wie gesagt, ein Körper hat immer ein Nullelement!)
Gibt es auch Ringe ohne 1?
Ja! Nimm z.B. die Menge aller geraden Zahlen (positive und negative). Diese bilden einen Ring ohne 1.
Gibt es nicht-kommutative Ringe?
Die Addition ist immer kommutativ. Die Multiplikation braucht es aber nicht zu sein.
Beispiel: Die Menge der reellen 2x2-Matrizen mit der komponentenweise Addition und der üblichen Matrizenmultiplikation bilden einen nicht-kommutativen Ring mit Einselement. (Das Einselement ist hier die Matrix mit je einer 1 in der Diagonalen und einer 0 an den übrigen Stellen. |
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