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Daniel Seifert (Dseifert)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Dezember, 2000 - 16:03: | 
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Hallo,
ich muß bis Montag beweisen, daß das Polynom f=X^5-10X-2 in Q[X] irreduzibel ist.
Ich knobel schon die ganze Woche daran, komme aber auf keinen grünen Zweig ;-(( Vielleicht könnt Ihr mir ja etwas auf die Sprünge helfen.
Die vorgegebene Idee: "Zum Nachweis wird zunächst gezeigt, daß eine Faktorzerlegung f=gh in zwei echte Teiler g und h zur Folge hat, daß zwei normierte echte Teiler von f in Z[X] existieren, deren Produkt ebenfalls f ist. Danach hilft ein Trick: von den beiden Teilern hat genau einer einen konstanten Term, der durch 2 teilbar ist, und mittels Teilbarkeitseigenschaften ganzer Zahlen folgt daraus, daß auch alle anderen Koeffizienten dieses Faktors gerade sind. Das ist wegen der Normiertheit unmöglich."
Ich kann allerdings noch nicht mal den Schritt von Q[X] zu Z[X] nachvollziehen ;-(
Auf eine Nachfrage wurde mir geantwortet, daß ich den Hauptnenner aller Koeffizienten bilden solle und f, g ausmultiplizieren soll und somit nur noch ganze Zahlen und Polynome aus Z[X] erhalte. Dann soll ich annehmen, einer der Hauptnenner wäre keine Einheit (hä???) und einen Primteiler hätte. Die Normiertheit des Ausgangspolynoms sollte einen Widerspruch ergeben.
Ich habe die dumpfe Befürchtung, daß ich die Lösung damit schon ziemlich genau beschrieben habe, aber offen gesagt kann ich obiges überhaupt nicht nachvollziehen ;-((( [irgendwie ist bei mir in letzter Zeit das Gehirn etwas blockiert, habe ich das Gefühl]
Schonmal Danke im voraus für Eure Hilfe. |
Daniel Seifert (Dseifert)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Dezember, 2000 - 16:08: |
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P.S.: Alternativ könnte ich mir als Lösung vorstellen, daß ich nachweise, daß alle Nullstellen von f entweder komplex oder irrational sind (wäre zwar nicht die gewünschte Lösung, aber besser als keine). Dummerweise habe ich keine Ahnung, wie ich die Nullstellen von f in C[X] rauskriegen kann. Geht das mit Maple? |
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