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Georg
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 13:27: | 
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Gesucht wird der Punkt P(s)s ist Index, der durch Spiegelung von P an der geraden g entsteht. Die Gerade verlaufe aus Vereinfachungsgründen durch den Ursprung
A) Lösen sie das Problem im Sinne der analytischen Geometrie der Ebene, indem sie vom Schnitt zweier orthogonaler Geraden ausgehen. Die eine Gerade ist g in der Gestalt y= m*x und die andere enthält die Punkte P und P(s)
B) Betrachten sie das gleiche Problem in R³
Zeigen Sie , das die vektorielle Behandlung zu
P(s) = p - [ 2/ |n|² ] *( P*n) *n
mit n = P - d ( d Lotfußpunkt von P auf g) führt
C) Stellen sie das Ergebniss aus B) für die X,y-Ebene in Matrizenform dar, d.h. zur Ermittlung des Vektors zum Puntkt P(S) gilt die Gleichung
P(s) = A*P, wobei P der Vektor des zu spiegelnden Punktes ist. Welchen Wert hat die Determinante von A
D) Geben sie das Ergebniss aus A) in Matrizenform an, indem der gesuchte bzw. gegebene Vektor in der Form ( x(s), y(s) ) hoch T bzw.(x(0), y(0) )hoch T
angegeben werden sollen.
Vergleichen sie mit dem Ergebniss aus C).
E) Berechnen sie zu P= (5,5) den Speigelpunkt P(s), wobei g durch die Gleichung x + 2y = 0 beschrieben sei.
Wenn möglich bitte bis 15.12.2000 9.30 Uhr. Bitte¹°°°°°°°· Danke. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 14:34: |
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Hi Georg,
Du brauchst bloss im Archiv das Stichwort
"Angewohnheit" einzugeben,und Du findest die Lösung wenigstens für den Anfang Deiner Aufgabe fein präpariert vor !
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 15:19: |
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Hi Georg,
Mit den in meiner Arbeit bereitgestellten Formeln
"Angewohnheit" lässt sich Deine Teilaufgabe E]
sofort lösen:
Es ist :
Steigung der Spiegelungsachse m = - ½ = tan (alpha ),
daraus: (Achtung:alpha ist stumpf !):
cos(alpha) = -1 / wurzel[1 + (tan (alpha)^2 ]
= -2 / wurzel (5)
sin((alpha) = 1 / wurzel(5)
sin (2 alpha ) = 2 * sin (alpha ) * cos (alpha) = - 4 / 5
cos(2 alpha ) = {cos (alpha)£^2 - {sin(alpha)}^2 = 3 / 5
Setze dies in die Spiegelungsformel ein und wähle p = 5, q = 5 ,
so kommt als Resultat für die Koordinaten des Bildpunktes
u = - 1, v = -7 heraus ( Kontrolle in einer graphischen
Darstellung!)
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 22:21: |
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Hi Georg,
Es folgt eine Zusammenstellung der Resultate
(I) im R2
Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
(siehe im Archiv unter "Angewohnheit")
Abbildungsmatrix A2 = (aik) mit
a11 = cos (2 alpha ) , a22 = - cos (2 alpha )
a12 = a21 = sin ( 2 alpha )
Bedeutung von alpha: Richtungswinkel der Spiegelungsachse
bezüglich der +x-Achse.
Eigenschaften der Matrix A2:
Symmetrie:a12 = a21
Orthogonalität: a11^2 + a12^2 = 1 , a21^2 + a22^2 = 1
a11 * a12 + a12 * a22 = 0
Determinante det (a2 ) = - 1. (für Drehmatrizen gilt det(A) = 1)
(II im R3
Spiegelung an einer Ebene (durch O)
Abbildungsmatrix A3 = (aik) mit
a11 = 1 - 2 (cos alpha ) ^ 2, a22 = 1 - ( cos beta) ^ 2 ,
a33 = 1 - ( cos gamma ) ^2
a12 = a21 = - 2 cos (alpha) * cos (beta)
a13 = a31 = - 2 cos (alpha) * cos (gamma)
a23 = a32 = - 2 cos (beta) * cos (gamma )
Bedeutung von alpha , beta , gamma :
Es sind dies die Richtungswinkel eines Normalenvektors
der Spiegelungsebene ;ihre Kosinuswerte sind die
Koordinaten eines Normaleneinheitsvektors dieser Ebene ,
sie werden auch Richtungskosinus genannt.
Sie erfüllen die Relation
(cos alpha ) ^ 2 + (cos beta ) ^ 2 + ( cos gamma ) ^2 = 1
Eigenschaften der Abbildungsmatrix A3:
Symmetrie: a12 =a21,a13 = a31, a23 = a32
Orthogonalität: a11^2 + a12^2 + a13+2= 1
a21^2 + a22^2 + a23^2 = 1
a31^2 + a32^2 + a33 = 1
a11* a21 + a12*a22 + a13*a23 = 0
a21 * a31 + a22*a32 + a23*a33 = 0
a31* a11 + a32*a12 + a33*a13 = 0
Determinante det (A3) = - 1 (für Drehmatrizen gilt: det(A) = 1)
Ferner gilt für die sogenannte Spur s = a11 +a22 +a33
der Matrix A3 :
s = 1 .
Anders als bei Deiner Formulierung in Teil C behandeln wir
den folgenden Spezialfall:
Die Spiegelungsebene E geht durch die z-Achse und steht folglich
zur (x,y)-Ebene senkrecht.
Die Schnittgerade g dieser Ebene mit der (x-y).Ebene übernimmt
die Rolle der Spiegelungsachse aus Teil (I).
Mit den Winkeln ist jedoch Vorsicht geboten.
Wir bezeichnen den Winkel aus Teil (I) jetzt mit alpha *.
Da die Winkel in (II) Winkel der Normalen der Ebene mit den Koordinatenachsen darstellen, gilt folgende Umrechnung:
alpha (aus(II)) = 90° + alpha * , beta (aus(II)) = alpha*,
gamma(aus (II)) = 90 °
daher cos (2*alpha) = cos(180° + 2 alpha*) = - cos ( 2 alpha)
Für die Elemente dieser speziellen Matrix im R3 erhalten wir
folgende Werte:
a11 = 1 - 2 * (cos alpha)^2 = - (cos alpha)^2 + (sin alpha)^2
= - cos ( 2 alpha ) = cos ( 2 alpha *)
Dieser Wert stimmt - wie zu erwarten war - mit dem Wert
a11 der Matrix A2 aus (I) überein !!
analog kommt: a22 = - cos (2 alpha * ) und
a12 = a21 = sin ( 2 alpha* ),
a33 = 1;
alle anderen Elemente der Matrix sind null.
So entsteht eine (3,3)- Matrix , in deren linken Ecke
die (2,2) -Spiegelungsmatrix A2 steht.
In der rechten unteren Ecke befindet sich das Element 1,
sodass die Spur wiederum 1 ist.
Am unteren und rechten Saum sind lauter Nullen.
Hoffentlich bleibt Dir genügend Zeit, dies alles zu verarbeiten
Auf die Herleitung der Abbildungsmatrix selbst muss ich
aus Zeitgründen vorläufiog verzichten !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 22:28: |
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Hi Georg,
Bei der Matrix A3 ist folgende Korrektur
anzubringen:
a22 = 1 - 2 * (cos beta)^2
a33 = 1 - 2 * (cos gamma)^2
Hoffentlich sind das die einzigen Tippfehler.
Prüfe bitte sorgfältig nach !
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Dezember, 2000 - 07:41: |
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Hi Georg,
Jetzt soll die vektorielle Spiegelungsformel interpretiert werden
Für besseres Handling schreiben wir sie um zur Form:
p' = p - 2 (p .n) n.......................................................(Sp)
p , p', n sind drei Vektoren und zwar folgende:
p = OP Ortsvektor des Originalpunktes
p'= OP' Ortsvektor des Bildpunktes P'
PP' steht auf der Spiegelungsebene E senkrecht,
F ist der Mittelpunkt der Strecke PP', sodass gilt :
PP' = 2*PF
n ist der Einheitsvektor in Richtung der Ebenennormale, sodass
n zum Vektor FP parallel ist.
Der Klammerinhalt p.n ist das Skalarprodukt der Vektoren p,n
Bekanntlich gilt: p.n = abs(p) * abs(n)* cos(phi)
(Produkt der Absolutbeträge der Vektoren p und n mal Kosinus des Zwischenwinkels der Vektoren).
Da abs(n) = 1 gilt, so entsteht:
p . n = abs( p) * cos(phi); dieses Produkt stellt gerade den Abstand
FP der Punkte F und P dar, sodass der Term 2 (p.n) den Abstand der
Punkte P und P' darstellt.
Damit ist der wesentliche Inhalt der Formel (Sp) erklärt.
Nun führen wir die Koordinaten der Vektoren ein, .
um (Sp) auszuwerten.
Zuerst die Koordinaten der Vektoren p und p':
p = {a;b;c}, p' ={u,v.w}
Für den Normaleneinheitsvektor n gilt:
n={cos (alpha);cos(beta);cos(gamma)},wobei die drei Winkel die
Richtungswinkel der Ebenennormale mit den Koordinatenachsen
x,y,z sind.
Das Skalarprodukt (p.n) in (Sp) lautet:
p.n = a* cos(alpha) + b*cos(beta) + c* cos(gamma)...........................(P)
Wir übersetzen nun die Vektorbeziehung (Sp) in die Sprache der
Koordinaten und tun das für die erste Koordinate u des Bildvektors p':
u = a - 2* [a*cos(alpha) + b* cos(beta) + c*(cos(gamma)]* cos (alpha)
Daraus entspringt gerade die erste Zeile der Abbildungsmatrix A3:
(1-2*{cos(alpha)^2} // - 2* cos(beta)*cos(alpha) // -2*cos(gamma)*cos(alpha)
u.s.w.
Das soll genug sein !
Gruss
H.R.Moser,megamath.
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