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Jan
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 10:46: | 
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berechne die allgemeine Lösung y=y(x)der Differentialgleichung y'+a*y=e^(-5x)
hierbei ist a element R ein Parameter |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 13:52: |
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Hi Jan
Wir lösen zuerst die homogene lineare DGl.
y ' = - a y durch Separation der Variablen:
dy/y = - a; Integration
ln y = - a x + k
y = e ^ ( - a x + k) = c * e ^ ( - a x ) :
k , c :Integrationskonstanten
Lösung der homogenen Dgl. mittels
Der Methode der Variation der Konstanten.
Ansatz: y = c(x) * e ^ ( - a x) ; Ableitung y' mit der
Produktregel:
y' = c'(x) * e ^ ( - a x ) - c ( x ) a * e ^ ( - a x ),
eingesetzt in die inhomogene Gleichung liefert:
c' e^(-ax) - c a e^(-ax) + a c e^(-ax) = e ^(-5x)
daraus wird:
c' = e ^( -5x+ax) ; Integration ergibt c=c(x):
c = 1 / (a-5) * e ^(-5x + ax) + C
( C ist eine neue Integrationskonstante )
setzt man dieses Ergebnis in den Ansatz ein,
so erhält man die gesuchte allgemeine Lösung:
y = 1 / ( a - 5 ) * e^ ( - 5 x ) + C * e ^ ( - a x )
Anmerkung
Bei obiger Lösung wird vorausgesetzt, dass
der Parameter a nicht 5 ist.
Für a = 5 ist jedoch y = x * e ^ (-5x ),
eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl.,
die zur allgemeinen Lösung der homogenen Dgl .addiert
werden muss, damit man auch in diesem Fall die gesuchte
Lösung erhält.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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