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Simone
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 15:33: | 
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Hallihallo,
ich rechne seit zwei Tagen an einer Aufgabe herum und bin schon echt verzweifelt!
Und zwar:
Ist folg. Funktionsfamilie im R-Vektorraum (R=reelle Zahlen) F(A,R) linear unabhängig:
A:=[0,2], die Funktionen sind f(x):=x³, f(x):=x+3,5x³, f(x):=x-x³.
Sachdienliche Hinweise werden mit jubelnden Dankesmails belohnt!
Simone |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 18:44: |
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Hi Simone,
in diesem Fall ist es zwar sehr einfach, aber hier ist der allgemeine Weg:
Setze
f1(x) = x³
f2(x) = x + 3
f3(x) = 5x³
f4(x) = x - x³
f1, f2, f3, f4 sind linear abhängig, wenn es reelle Zahlen a, b, c, d gibt, die nicht alle 0 sind, sodass gilt
a f1(x) + b f2(x) + c f3(x) + d f4(x) = 0 (Nullfunktion)
Einsetzen:
a x³ + b (x + 3) + c 5x³ + d (x - x³) = 0
Umsortieren:
(a + 5c - d) x³ + (b + d) x + 3b = 0
Dies ist erfüllt, wenn
a + 5c - d = 0
b + d = 0
3b = 0
(Das nennt man "Koeffizientenvergleich".)
Also z. B. b = d = 0, a = 5, c = -1 (sind nicht alle Null!)
Es gilt somit
5 f1(x) - f3(x) = 0,
und damit sind die Funktionen linear abhängig. |
Simone
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 23:17: |
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Hallo Zaph,
vielen Dank für Deine Antwort!!
Aber soweit war ich ja auch schon...
...was mich an der Aufgabe so stört ist der Intervall A:=[0,2]! (Die zweite Funktion sollte übrigens heißen x+3Komma5x³, insgesamt also drei Funktionen, sorry)
Ich habe die gleichen Funktionen nochmal für den Intervall [-1,1], deshalb meine große Verwirrung...kannst Du mir nochmal helfen?
Simone |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 01:13: |
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Das Intervall, und ist es auch noch so klein (sofern es nicht aus einem einzigen Punkt besteht oder leer ist), ist egal! Polynome sind genau dann gleich, wenn alle Koeffizienten übereinstimmen. Dasselbe gilt, wenn du ein Polynom als Funktion auf einem Intervall mit positiver Länge auffasst. |
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