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keiner
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Dezember, 2000 - 20:30: | 
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Hab hier folgende Aufgabe zu lösen:
Bilden die reellen Polynome P(x) mit P(0)=P(1)=0 im Vektorraum R[t] über R einen Untervektorraum U? Wenn ja, gib eine Basis für U an. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 02:37: |
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Ja,tun sie,denn
(1) 0ÎU
(2) (P+Q)(0)=P(0)+Q(0)=P(1)+Q(1)=0+0=0
(3) lP(0)=lP(1)=l0=0
Basis :
{0}U{t1+k-tk|kÎIN}) |
Michael (Maw)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Dezember, 2000 - 18:46: |
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hmm Ingo
würde es sehrviel arbeit machen nochmal zu erklären wie man auf die Basis kommt (Herleitung)
Danke im Voraus
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Ingo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 00:01: |
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Kein Problem :
Die Bedingung lautet P(0)=P(1)=0,also ist das einfachste nichttriviale Polynom,das diese Bedingung erfüllt p(t)=t(t-1).
Weiterhin ist für jedes beliebige Polynom q(t) auch p(t)q(t) in der Menge enthalten,da ja bereits p(0)=p(1)=0 gilt.
Um nun eine Basis zu bekommen mußt Du lineare Unabhängigkeit sichern und das geht durch Erhöhung des Grades. Eine Erhöhung des Grades bedeutet aber,daß q(t) seinen Grad erhöht.
Nimm also für q die Monome tk. Dann ist {p(t)q(t)} auf jeden Fall linear unabhängig.
Warum ist es jetzt aber auch erzeugend ?
Sei F(t) eine Lösung,dann besitzt F die Nullstellen t=0 und t=1 und es gibt ein Polynom f(t)=Sn i=0aiti mit
F(t) = p(t)f(t) = p(t)Sn i=0aiti = Sn i=0aip(t)ti
Also ist F eine Linearkombination von {p(t)q(t)}. |
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