| Autor |
Beitrag |
    
The_Rock
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Dezember, 2000 - 19:18: | 
|
Folgende Aussage die FIBINACCI Zahlen betreffend soll mit vollständiger Induktion gelöst werden.
Indizies in []
f[n-1]*f[n+1] = f[n]^2+(-1)^(n+1)
Danke
The Rock |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 18:55: |
|
Hallo The Rock,
die Fibonacci-Folge ist definiert durch:
f(0) = 1
f(1) = 1
f(n+1) = f(n)+f(n-1) für n>=1
Induktionsanfang:
n=1: f(0)*f(2) = 2 = 1²+(-1)1+1. Stimmt.
Induktionsschritt:
Zeige f(n+2)*(f(n)-f(n+1)² = (-1)n+2
Und das geht so:
f(n+2)*(f(n)-f(n+1)² = [f(n+1)+f(n)]-f(n+1)²
= f(n+1)*f(n) + f(n)² - f(n+1)²
= f(n+1)*[f(n) - f(n+1)] + f(n)²
Nun ist f(n+1)=f(n)+f(n-1), also f(n)-f(n+1)=-f(n-1). Damit hat man:
= f(n+1)*[-f(n+1)] + f(n)²
= - f(n+1)*f(n+1) + f(n)²
Das Produkt wird mit der Induktionsvoraussetzunge ersetzt:
= - f(n)² -(-1)n+1 + f(n)²
= (-1)n+2
Das war der Beweis.
Gruß
Matroid |
The_Rock
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 10:08: |
|
Die Ind.Voraussetzung war aber doch
f[n-1]* f[n+1]= f[n]^2 + (-1)^(n+1)
du setzt aber für quasi f[n+1]^2 die Vorraussetzung ein.
Wäre schön wenn du mir das nochmal erklären könntest, auch eine kurze Erklärung zu den vorherigen Schritten wäre nett.
The Rock |
The_Rock
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 13:16: |
|
Sorry,
habe herausgefunden, das die Aufgabe auf dem Blatt falsch gestellt worden ist(von unserem Tutor).
Hier die Richtige:
f[1]=f[2]=1
f[n-1]*f[n+1]=f[n]^2+(-1)^n
So ist sie richtig, auch ist anzunehmen, daß
f[0]=0 ist.
Dann ist der Schritt für n=1 klar.
f[0]*f[2]=f[1]^2-1
0*2 = 1-1 q.e.d.
Nur der Schritt von n -> n+1 ist mir unklar!!!
Kannst mir jemand da weiterhelfen???
The Rock |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 17:49: |
|
Ich muß meine Schreibfehler korrigieren:
Induktionsvoraussetzung;
f(n+1)*f(n-1)-f(n)² = (-1)n+1
Induktionsschritt:
Zeige f(n+2)*f(n)-f(n+1)² = (-1)n+2
Und das geht so (mit ### Erklärungen):
f(n+2)*f(n)-f(n+1)²
### Einsetzen der Rekursion f(n+2)=f(n+1)+f(n)
= [f(n+1)+f(n)]*f(n)-f(n+1)²
### Ausmultiplizieren
= f(n+1)*f(n) + f(n)² - f(n+1)²
### f(n+1) ausklammern
= f(n+1)*[f(n) - f(n+1)] + f(n)²
### Nun ist f(n+1)=f(n)+f(n-1), also f(n)-f(n+1)=-f(n-1). Damit hat man:
= f(n+1)*[-f(n-1)] + f(n)²
= - f(n+1)*f(n-1) + f(n)²
### Das Produkt wird mit der Induktionsvoraussetzung ersetzt:
= - f(n)² -(-1)n+1 + f(n)²
= (-1)n+2
Jetzt besser?
Grüße
Matroid |
The_Rock
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Dezember, 2000 - 08:41: |
|
Ja
besser, nur leider war die Aufgabe leider falsch gestellt von unserem Tutor!
Aber habe inzwischen die Richtige Lösung gefunden!
Trotzdem vielen Dank, mit deiner Hilfe hast du mich auf den richtigen Weg gebracht.
The Rock |
|
