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Beitrag |
    
Daemia
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Dezember, 2000 - 12:06: | 
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1. Berechne die Determinante der folgenden Matrix:
A =
(1+cosx 1+sinx 1)
(1-sinx 1+cosx 1)
( 1 1 1) , xeIR
2. Löse det(a)=0 für
A =
( x -1 x)
(-1 x x)
( 1 2 x) , xeIR |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 08:00: |
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Hi Daemia,
Zu Deiner ersten Determinante D1:
Sie hat die Gestalt:
erste Zeile: a b 1
zweite Zeile: c d 1
dritte Zeile: 1 1 1
Mit a=1 + cos x ,b = 1 + sin x , c = 1 - sin x ,d = 1 + cosx
Entwickelt man nach der ersten Zeile, so erhält man:
a* (d -1) - b * (c - 1 ) + 1 * (c - d ) = ad - bc - a + b + c - d
Ersetzt man a, b, c , d durch ihre Entsprechungen in x,
so erhält man für die gesuchte Determinante D1:
D1 = (1+cos x)^2 - (1+sin x)*(1-sin x) -(1+cos x)+(1+sin x)
+(1 - sin x) - ( 1 + cos x)
Es hebt sich einiges weg; übrig bleibt;
D1 = sin^2 x + cos^2 x = 1.
Ich möchte noch auf einen interessanten Aspekt der Aufgabe
hinweisen.
Die Determinante D1 ist eine Funktion von x:
D1 = D1(x)
Wir leiten D1(x) nach x ab und erhalten für D1 ' (x)
Nach einem Lehrsatz eine Summe
von drei Determinanten A(x),B(x),C(x)
A(x) : in der ersten Zeile stehen die Ableitungen der Elemente
der ersten Zeile von D1,nämlich
- sinx cos x 0
die zweite und dritte Zeile sind gleich wie bei D1
B(x) : in der zweiten Zeile stehen die Ableitungen der zweiten Zeile
von D1,nämlich:
- cosx - sin x 0
die erste und dritte Zeilen sind gleich wie bei D1
C(x) :in der dritten Zeile stehen die Ableitungen der Elemente der
dritten Zeile von D1,nämlich lauter Nullen ;
daher ist der Wert dieser Determinante null !
die erste und zweite Zeile sind bezüglich D1 unverändert
Als Ergebnis finden wir:
D1'(x) = A(x) + B(x) + C(x) = 0 + 0 + 0 = 0
Die Ableitung ist für alle x null, daher muss D1(x) eine
Konstante K sein
Wir setzen in der Determinante D1 für x einen geeigneten Wert ein,
z.B. x = 0 und finden sofort: K = 1, somit ist bestätigt, dass D1 für
alle x-Werte eins ist.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 08:47: |
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Hi Daemia,
Bei Deiner zweiten Determinante D2 kann aus der
dritten Spalte sofort der Faktor x herausgezogen und vor
eine dritte Determinante D3 gezogen werden:
D2 = x * D3
erste Zeile von D3: x - 1 1
zweite Zeile von D3: -1 x 1
dritte Zeile von D3: 1 2 1
Entwickelt man D3 nach der ersten Zeile, so kommt:
D3 = x * ( x - 2 ) + 1* ( - 1 - 1 ) + 1 * ( - 2 - x ) =
= x ^ 2 - 3 x - 4
Nullstellen von D3 aus der quadratischen Gleichung
x ^ 2 - 3 x - 4 = 0
Lösungen: x1 = 4 , x2 = - 1
Zusammen mit x3 = 0 haben wir alle Nullstellen der
gegebenen Determinante D2.
Kontrolle durch Einsetzen dieser Werte in die
Determinante D2 !
Mit freundlichen Grüssen
HG.R.Moser,megamath. |
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