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Jens
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 12:11: | 
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1. Gib im Vektorraum R^3 über Q die Menge M aller Vektoren c=(c1,c2,c3) an, sodaß (2,1,1/2),(1,0,-1) und c linear unabhängig sind. Ändert sich M - und falls ja,wie - wenn der Vektorraum R^3 über R betrachtet wird?
2. Bilden die reellen Polynome P(x) mit P(0)=P(1)=0 im Vektorraum R[t] über R einen Untervektorraum U? Wenn ja, gib eine Basis für U an.
R(reelle Zahlen),Q(rationale Zahlen)
Danke im Voraus. |
thorsten@zahlreich.de
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 16:10: |
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Hallo,
hier mein Lösungsvorschlag zu 1:
Steht c ungleich 0 senkrecht auf den beiden gegebenen Vektoren, so sind die
drei sicher l.u.
Zu lösen ist also folgendes Gleichungssystem:
(2,1,1/2)*c=0 und (1,0,-1)*c=0 (das sind Skalarprodukte).Es folgt
2c1+c2+1/2c3 = 0
c1 - c3 = 0
Da man drei Unbekannte, aber nur zwei Gleichungen hat setze man c3= -1.
Daraus folgt c1= -1 und c2 = 5/2.
Die Menge M ist also gegeben durch M = <c> := {a*c : a aus Q} ( oder
{a*c : a aus IR} ).
Zu 2.
Jedes Polynom mit den Nullstellen 0,1 läßt sich darstellen als:
p(x) = x(x-1) q(x) mit q(x) aus P(x).
Damit läßt sich durch Nachrechnen der Vektorraumaxiome ( Kommutativität von
+, Existenz Nullelement usw.)
zeigen, dass es sich um einen Untervektorraum handelt.
Angabe einer Basis (ohne Beweis):
Vorbemerkung: Wie oben gesagt ist jedes p aus U darsellbar wie oben, d.h.
mit beliebigen q(x) aus P(x).
Da x^0 , x^1 , x^2 , ..... eine Basis von P(x) ist , sollte
e1(x) = x(x-1)x^0 , e2(x) = x(x-1)x^1 , e3(x) = x(x-1)x^2) , ....
eine Basis von U sein (Hab ich jetzt mehr intuitiv erhalten.Stimmt das
überhaupt?
Gruß
Thorsten Wehner |
Jens
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Dezember, 2000 - 19:37: |
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Danke für die schnelle Antwort! |
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