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Mengenlehre

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Carsten
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Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 14:08:   Beitrag drucken

Hallo ! Ich hab eigentlich weder was mit Mathe noch mit Lehramt am Hut, aber dummerweise hab ich ner Freundin versprochen ihr bei einer Aufgabe aus diesem Bereich zu helfen. Leider hab ich mir da wohl etwas zuviel vorgenommen, aber vielleicht weiß ja hier jemand weiter:

Ein Dorf hat drei Vereine, einen Sportverein (S) mit 160 Mitgliedern, einen
Gartenbauverein (G) mit 110 Mitgliedern und die Freiwillige Feuerwehr (F) mit 70
Mitgliedern. MIT S,G, und F werden jeweils die Mitgliedermengen bezeichnet.

1.) Kennzeichnen Sie die Mengen A= S\(G\F) und B=(S\G) vereinigt mit F verbal
und graphisch im Venndiagramm.
2.) Wie viele Personen gehören den Mengen A und B mindestens, wie viele
höchstens an? Geben Sie jeweils die Bedingungen an.
3.) Unter welchen Bedingungen gilt, dass A=B ist?
Wie viele Personen gehören dann der Menge A an, wenn noch bekannt ist, dass 30
Einwohner sowohl im Sport-, als auch im Gartenbauverein sind, und 20 Mitglieder
des Gartenbauvereins auch Mitglieder der Feuerwehr sind.
4.) Unter welchen Voraussetzungen kann aus der Gleichung
S\(G\F)= (S\G) vereinigt mit F
auf das Rechengesetz
|S|-(|G|-|F|)=(|S|-|G|)+|F||
geschlossen werden ? Erstellen Sie ein passendes Diagramm.
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Celine
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Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 17:05:   Beitrag drucken

Hallo! Ich habe da ein kleines(für mich eher großes) Problem
1.
Man zeige: Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Menge ist wieder abzählbar.

2.
Es seien m,n Element der natürlichen Zahlen
a) man zeige Für m>n gibt es keine injektive Abbildung f: Am->An
b) man bestimme die Anzahl der injektiven Abbildungen f:Am->An

Es wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte, ich bin für jeden Tipp dankbar
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holger
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Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 18:48:   Beitrag drucken

Hallo Celine:

zu 1:

Die Menge aller Primzahlen ist abzählbar.
Die Menge aller Potenzen einer Primzahl (p^n) ist ebenfalls abzählbar.

Die Menge aller Potenzen aller Primzahlen ist ebenfalls abzählbar, da sie eine Teilmenge von N ist. (N ist abzählbar)

Nun ordne ich die n-te Menge der Vereinigungsmenge der n-te Primzahl zu, und das k-te Element jeder n-ten Menge der k-ten Primzahlpotenz (p^k).

Damit habe ich eine 1-1 Abblidung auf eine abzählbare Menge von Primzahlpotenzen, woraus folgt, dass deine Vereinigungsmenge ebenfalls abzählbar ist. (geht aber bestimmt auch einfacher)

-holger
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Julia
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Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Oktober, 2001 - 12:49:   Beitrag drucken

Hallo!Bitte helft mir!
Es sei M eine (endliche) Menge mit m>1 und N eine (endliche) Menge mit n>1 Elementen. Wie viele Abbildungen f:M->N gibt es, wie viele davon sind injektiv (mit Begründungen)?
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P
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Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Oktober, 2001 - 13:13:   Beitrag drucken

Hallo Julia,
Bitte öffne für neue Fragen einen neuen Beitrag!
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Oktober, 2001 - 16:51:   Beitrag drucken

Es gibt nm Abbildungen.

Davon injektiv sind n * (n-1) * (n - 2) * ... (n - m + 1).

(Beachte: wenn m > n, dann ist das Produkt 0. Die Formeln stimmen auch, wenn m oder n 1 oder 0 (!) sind.)

Zur Begründug: Beachte, wieviel Möglichkeiten es für das erste, das zweite, das dritte,... Element von M für das Bild in N gibt.
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hallo
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Veröffentlicht am Montag, den 15. Oktober, 2001 - 12:32:   Beitrag drucken

zu Celines Problem,

Seien A(i) abz. Mengen f.a. i aus N. OBdA seien alle A(i) disjunkt. Nun bezeichne a(i,j) das j-te Element der i-ten Menge, also

A(1) => a(1,1) a(1,2) a(1,3) ...
A(2) => a(2,1) a(2,2) a(2,3) ...
A(3) => a(3,1) a(3,2) a(3,3) ...
. . . .
. . . .
. . . .

Dann ist die Vereinigung B der A(i) offenbar die Menge all dieser Elemente a(i,j) und nun definiere rekursiv eine Abzaehlung von B durch

b(1) = a(1,1); b(2) = a(2,1); b(3) = a(1,2); b(4) = a(1,3); b(5) = a(2,2); b(6) = a(3,1)...
( Du zaehlst alle Elemente a(i,j) mit i+j = n element N ab (ist immer eine endliche Menge mit (n-1) elementen) dann alle mit i+j = n+1 und def. so rek. eine Bijektion auf N. )

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