| Autor |
Beitrag |
    
Tino Miegel (Tino77)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Dezember, 2000 - 20:31: | 
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Hallo !
Schaffe die letzte Aufgabe eines Übungszettels nicht :
Man gebe die komplexe Partialbruchzerlegung von
(x^4+2) / (x^4+1) an.
Ich bekomme für die Nullstellen des Nennerpolynoms raus :
x1 = cos 45 + i*sin 45
x2 = cos 135 + i*sin 135
x3 = cos 225 + i*sin 225
x4 = cos 315 + i*sin 315
Aber damit die Konstanten herauszubekommen???? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 21:49: |
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Hi Tino,
Dein Darstellung der Nullstellen des Nenners ist richtig
Mit der Abkürzung w = ½ * wurzel(2) lauten diese Nullstellen:
x1 = w + i w , x2 = - w + i w , x3 = - w - i w , w4 = w - i w.
Die gegebene gebrochene rationale Funktion
F(x) = ( x ^ 4 + 2 ) / ( x ^ 4 +1 ) = ( x ^ 4 + 1 + 1 ) / (x ^ 4 +1 )
zerlegen wir in den ganzen Teil f(x) = 1 und den echt
gebrochenen Teil
g(x) = 1 / ( x ^ 4 + 1 ); also F(x) = f(x) + g(x) = 1 + g(x)
Es gilt nun , g(x) in Partialbrüche zu zerlegen
Zu diesem Zweck machen wir den Ansatz:
g (x) = a / (x-x1) + b / (x-x2) + c / (x-x3) + d / (x-x4) ... (I)
mit den zu bestimmenden (komplexen) Zahlen
a,b,c,d.
Wir nehmen das Resultat voraus; die konstanten Zähler sind:
a = 1/8 * wurzel(2) * (-1- i 1 ) = ¼ * x3
b = 1/8 * wurzel(2) * ( 1 - i 1 ) = ¼ * x4
c = 1/8 * wurzel(2) * (1 + i 1 ) = ¼ * x1
d = 1/8 * wurzel(2) * (-1 + i 1) = ¼ * x2
Im Ansatz (I) multiplizieren wir beide Seiten mit dem
Produkt der vier Nenner, das heisst auch mit x ^ 4 + 1
Die linke Seite L wird dann zu 1, also L = 1
die rechte Seite R lautet bruchfrei so:
R=a(x-x2)(x-x3)(x-x4) +b(x-x1)(x-x3)(x-x4) +c(x-x1)(x-x2)(x-x4)
+d(x-x1)(x-x2)(x-x3).
Setzt man nun der Reihe nach x = x1 , x = x2, x = x3, x = x4 ein,
so verschwinden im Term für R jeweils drei Summanden
Aus dem Rest erhalten wir beim Gleichsetzen mit L=1 jeweils
eine Gleichung für einen der Koeffizienten a,b,c,d.
Wir führen die Berechnung von a vor (die Berechnungen der
anderen Werte b,c,d gehen analog) .
x = x1 eingesetzt:
R = a (x1-x2)(x1-x3)(x1-x4) = 1 = L
die drei Differenzen werden gemäss obiger Vorbereitungen
durch w-Werte ersetzt:
a * 2 w * (2w + 2 i w) * 2 i w = 1 oder
a * 8 w ^ 3 * ( i 1 - 1) = 1
Auflösung nach a :
a = 1 / [ 2* wurzel(2) * (- 1 + i 1 ) ]
Man erweitert den Bruch mit dem konjugiert komplexen Wert
-1 -i1 des Nenners und beachtet dabei , dass
( -1 + i1 ) * ( -1 - i1 ) = 2 gilt
So erhält man für a den eingangs erwähnten Wert:
a = 1/8 * wurzel(2) * (- 1- i1 )
u.s.w.
Viel Vergnügen und maximale Konzentration wünscht
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Dezember, 2000 - 09:08: |
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An die Benützer von Computeralgebrasystemen,
Es gibt eine sehr schöne Möglichkeit, das Ergebnis
der Partialbruchzerlegung in meinem vorangehenden
Beitrag mittels solcher Programme zu bestätigen,
z.B. mit Maple V.
Als Eingabe wählen wir:
f:= 1 / (x ^ 4+1 );
w:=sqrt(2 )/ 2; z:= w + I * w;
simplify ( series ( f , x=z , 0 ) );
Ausgabe:
(-1/8-1/8 I ) wurzel(2) [x- ½ wurzel(2)- ½ I wurzel(2) ] ^ (-1) +O{...}
Setzt man der Reihe nach für z die drei anderen Nullstellen ein,
so bekommt man die restlichen Summanden der
Partialbruchentwicklung .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Maple-DAU
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juni, 2001 - 15:33: |
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Komisch, bei mir kommt "Error, division by zero", wenn ich den Term so in Maple hineinkopiere.
f:= 1 / (x ^ 4+1 );
w:=sqrt(2 )/ 2; z:= w + I * w;
simplify ( series ( f , x=z , 0 ) );
Erst wenn ich die letzte Null (0) samt Komma lösche und von Hand neu eingebe, steht da der obige Ausdruck. |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Juni, 2001 - 17:30: |
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Hallo Maple-DAU,
Setze anstatt der Null eine ganze Zahl >1 ein!
Also z.B.: simplify(series(f,x=z,4));
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