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Cali
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Dezember, 2000 - 16:54: | 
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Faktorzerlegung des Polynoms p
p(z) = z^8+2z^7+3z^6+2z^5+z^4-2z^3-3z^2-2z-2
wir wissen schon NST bei z0= -1+i und z1= i
danke im voraus
Cali |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 22:54: |
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Hi Cali,
Da Dein Polynom lauter reelle Koeffizienten hat,
ist mit jeder komplexen Nullstelle auch die konjugiert
komplexe Zahle eine Nullstelle des Polynoms p(z).
Wir kennen also bis anhin vier Nullstellen (neue Numerierung):
z1 = -1 + i1, z2 = -1 - i1,
z3 = i1 , z4 = - i1.
p(z) ist daher ohne Rest durch den Divisor
d(z) = (z-z1)*(z-z2 )*(z-z3)*(z-z4) = (z^2+2z+2)*(z^2 + 1)=
= z^4 + 2 z^3 +3 z^2+ 2z + 2
teilbar;
das Resultat Q(z) dieser Division lautet:
Q(z) = z^4 -1 = (z^2 - 1)(z^2 + 1) = (z+1)(z-1)(z+i1)(z-i1)
Nun ist es nicht mehr schwierig, die vollständige
Linearfaktorzerlegung mit 8 Faktoren anzuschreiben, sie lautet:
p(z) = (z + 1 - i1)*(z +1 +i1)*(z - i1)^2* (z + i1)^2 *(z +1)*(z -1)
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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