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DJ
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 23:00: | 
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Hallo!
Kann jemand folgende Aufgabe lösen ?
zu zeigen: Ist f:[0,1] => R(reelle Zahlen] eine stetige Funktion mit f(0)=f(1), so gibt es für jedes n aus den natürlichen Zahlen(ohne null) ein x aus [0,1] mit f(x)=f(x+(1/n))
Für eure Hilfe sehr dankbar,
DJ |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 18:39: |
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Hi DJ,
setze
xi = i/n für i = 0, ..., n
yi = f(xi) - f(xi-1) für i = 1, ..., n.
Wenn ein yi = 0, dann bist du fertig, denn dann gilt f(xi-1) = f(xi-1 + 1/n). Seien also alle yi ungleich 0. Es können nicht alle yi > 0 sein, da sonst
0 < y1 + y2 + ... + yn
= f(x1) - f(x0) + f(x2) - f(x1) + ... + f(xn) - f(xn-1)
= f(xn) - f(x0)
= f(1) - f(0) Widerspruch!
Analog können nicht alle yi < 0 sein.
Also gibt es ein i aus {1,...,n-1}, sodass yi und yi+1 unterschiedliches Vorzeichen besitzen.
Es sei z. B. yi < 0 und yi+1 > 0. (Der andere Fall geht analog.)
Setze g(x) = f(x + 1/n) - f(x). g(x) ist eine stetige Funktion auf [0,1-1/n].
Es ist g(xi-1) = yi < 0 und g(xi) = yi+1 > 0. Nach dem Zwischenwertsatz existiert ein x aus [xi-1,xi] mit g(x) = 0. Für dieses x gilt f(x + 1/n) = f(x). |
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