| Autor |
Beitrag |
    
Christian Wallmeier (Goya)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 21:22: | 
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HILFE!!!
Sei f:R--->R stetig in 0 mit de Eigenschaft f(x+y)=f(x)f(y) für alle x,y E R Zeigen:
1) f ist stetig auf R
2) Entweder ist f(x)=0 für alle x E R oder es gibt eine Konstante c E R, so dass f(x)=exp(cx) für alle x E R gilt. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 11:40: |
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Hi Goya!
Auch wenn Deine Aufgabe schon länger her ist, hätte ich trotzdem eine Lösung für 1)
Zu zeigen: f ist stetig auf R
<=> lim x->a f(x) = f(a) für alle a aus R
Beginnen wir mit der linken Seite dieser Gleichung:
L = lim x->a f(x)
Substituieren wir nun mit der Substitutionsgleichung:
h=x-a <=> x=a+h
Wenn x gegen a strebt, so strebt h gegen a-a= 0 (Grenzwertsätze)
Unser zu bestimmender Grenzwert L lässt sich also umschreiben zu:
L = lim h->0 f(a+h)
Laut Aufgabenstellung ist f(a+h)=f(a)f(h)
L = lim h->0 f(a)*f(h)
Wenn nun h gegen 0 strebt, so strebt f(h) gegen f(0), weil laut Aufgabenstellung f stetig bei 0 ist.
Daraus folgt:
L = f(a)*f(0) = f(a+0) = f(a)
q.e.d.
Aufgabe 2)
Dass f(x)=0 eine Lösung ist, kann man einfach überprüfen, indem man untersucht, ob sowohl
"f(x+y)=f(x)f(y)", als auch "f stetig in 0" gilt.
f(x+y)= 0 = 0*0 = f(x)*f(y)
lim x->0 f(x) = lim x->0 0 = 0 = f(0) q.e.d.
Wir wissen jetzt also, dass eine mögliche Lösung die konstante Funktion f(x)=0 ist.
Da wir diesen Fall jetzt untersucht haben, können wir uns mit den anderen Fällen beschäftigen:
Nehmen wir an, die Funktion sei NICHT konstant 0.
Kann eine solche Funktion, die NICHT KONSTANT 0 ist, trotzdem irgendwo eine Nullstelle haben?
Annahme: x_n sei Nullstelle.
h=x-x_n => x=h+x_n
Das heißt eine Funktion, die bei x_n eine Nullstelle hat, ließe sich schreiben als
f(x)= f(h+x_n) = f(h)*f(x_n)=f(h)*0 = 0 = konstant 0.
Wiederspruch!
=> Wir haben also gezeigt, dass f entweder KONSTANT ÜBERALL 0 ist, oder NIE 0 wird.
Berechnen wir als Nächstes den Funktionswert an der Stelle 0:
f(x+y)=f(x)f(y) => f(0+y)=f(0)f(y) => f(y)=f(0)f(y) => f(0)=1
=> Jede dieser Funktionen, die NICHT konstant 0 ist, hat also an der Stelle 0 den Wert 1
=> Da die Funktion an der Stelle 1 einen positiven Wert (1) hat, und nie 0 wird, und überall stetig ist, folgt daraus, dass f(x) immer positiv ist.
Demnach ist es möglich, von f(x) den nat.Logarithmus zu nehmen:
g(x)=ln[f(x)]
g(x+y) = ln[f(x+h)] = ln[f(x)f(h)] = ln[f(x)]+ln[f(h)] = g(x)+g(y)
g ist ebenfalls stetig und hat die Eigenschaft, dass g(x+y)=g(x)+g(y) ist.
Mit VI lässt sich einfach zeigen, dass g(n*x) = n*g(x) ist, wobei n aus IN ist.
Definieren wir uns nun die Zahl c als
c = g(1)
c = g(1) = g(m/m) = m*g(1/m)
=> g(1/m) = c/m für alle m aus IN
Satz: g(x)= c*x für alle reelen x-Werte
1.Fall: x ist rational, d.h. x= n/m
g(x)=g(n/m)= n*g(1/m) =n*c/m = n/m*c= x*c
2.Fall: x ist irrational, d.h. es existiert eine rationale Folge xn, die gegen x konvergiert.
f(x)= lim n->¥ f(xn)= lim n->¥ xn*c = x*c
Bei der letzten Umformung haben wir ausgenutzt, dass g stetig ist.
Nun haben wir gezeigt, dass g(x)=x*c ist.
g war nun definiert als g(x)=ln[f(x)]
Also gilt:
ln[f(x)] = x*c => f(x) = exp(x*c)
q.e.d.
Ich weiß nicht, ob da irgendwo ein Haken drin ist, und ob das nicht viel zu umständlich war, aber so müsste es funktionieren...
Ciao,
Cosine |
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