| Autor |
Beitrag |
    
crusader
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 17:58: | 
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Besagt Tschebyscheff, daß man eine Folge von
Zufallsvariablen betrachtet und für alle Zufallsvariablen einen Mittelwert (Erwartungswert)
erhält. Und der Durchschnitt aller Erwartungswerte ist "Groß-Xn-Quer"
Tschebyscheff berechnet nun mit welcher Wahrscheinlichkeit ein arithmetisches Mittel in ein beliebig kleines Intervall fällt.
Richtig? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 18:59: |
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Hi crusader,
für alle Verteilungen kann man die Beobachtung machen, daß Werte in einem Intervall um den Mittelwert viel wahrscheinlicher sind, als Werte, die weit am Rand liegen.
Das ist sicher sehr ungenau formuliert. Aber das ist die Idee von T.
Genauer T. gibt eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, daß die Werte einer Zufallsvariablen X mindestens um e von einem gegebenen Wert c abweichen.
Die Abschätzung gilt für alle Verteilungen, und das macht T. so ungenau. Man denke an eine Gleichverteilung, selbst dafür gilt T. Für eine Binomial- oder eine Normalverteilung ist dieses Kriterium meistens sehr ungenau, denn dort häufen sich die Werte ja erkennbar um den Mittelwert. Die Wahrscheinlichkeit, daß die Werte der Zufallsvariablen X außerhalb eines Bereiches um den Mittelwert liegt, wird viel zu hoch abgeschätzt.
Und noch was zu dem e. Aus den Grenzwertdefinition in der Mathematik kennt man e als eine kleine Zahl. Das ist bei T. aber nicht so gemeint. Wenn man sich die Abschätzung ansieht, dann stellt man sogar fest, daß T. für große e besser funktioniert als mit kleinen.
Mit c=m lautet T. nämlich:
P(|X-m|>=e) <= s2/e2
Man kann damit etwa abschätzen, wie groß die Wahrscheinlichkeit höchstens ist, daß X einen Wert außerhalb des Intervalls [m-2s,m+2s] liegt.
Das ist dann P(|X-m|>2s) <= 1/4.
Immerhin!
Aber wenn man stattdessen X außerhalb [m-s,m+s] abschätzen möchte, dann hat T. schone keine Aussage mehr. Dann ist dann P(|X-m|>s) <= 1.
Na toll.
Gruß
Matroid
Die T-Ungleichung |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 19:02: |
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Hi crusader,
für alle Verteilungen kann man die Beobachtung machen, daß Werte in einem Intervall um den Mittelwert viel wahrscheinlicher sind, als Werte, die weit am Rand liegen.
Das ist sicher sehr ungenau formuliert. Aber das ist die Idee von T.
Genauer T. gibt eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, daß die Werte einer Zufallsvariablen X mindestens um e von einem gegebenen Wert c abweichen.
Die Abschätzung gilt für alle Verteilungen, und das macht T. so ungenau. Man denke an eine Gleichverteilung, selbst dafür gilt T. Für eine Binomial- oder eine Normalverteilung ist dieses Kriterium meistens sehr ungenau, denn dort häufen sich die Werte ja erkennbar um den Mittelwert. Die Wahrscheinlichkeit, daß die Werte der Zufallsvariablen X außerhalb eines Bereiches um den Mittelwert liegt, wird viel zu hoch abgeschätzt.
Und noch was zu dem e. Aus den Grenzwertdefinition in der Mathematik kennt man e als eine kleine Zahl. Das ist bei T. aber nicht so gemeint. Wenn man sich die Abschätzung ansieht, dann stellt man sogar fest, daß T. für große e besser funktioniert als mit kleinen.
Mit c=m lautet T. nämlich:
P(|X-m|>=e) <= s2/e2
Man kann damit etwa abschätzen, wie groß die Wahrscheinlichkeit höchstens ist, daß X einen Wert außerhalb des Intervalls [m-2s,m+2s] liegt.
Das ist dann P(|X-m|>2s) <= 1/4.
Immerhin!
Aber wenn man stattdessen X außerhalb [m-s,m+s] abschätzen möchte, dann hat T. schone keine Aussage mehr. Dann ist dann P(|X-m|>s) <= 1.
Na toll.
Gruß
Matroid
Die T-Ungleichung |
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