| Autor |
Beitrag |
    
Michael
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 12:53: | 
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Aufgabe:
n Element N.
Man beweise:
n/2 < S2n-1 i=1(1 / i) < n
Hat jemand eine schlaue Idee? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 15:24: |
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HAllo Michael,
mach Induktion.
Anfang: n=2. Stimmt.
Dann S2n+1-1 i=1 1/i
= S2n-1 i=1 1/i + S2n+1-1 i=2n 1/i
Die erste Summe kann mit der Induktionsvoraussetzung abgeschätzt (nach oben bzw. nach unten) werden. Um die zweite Summe nach oben abzuschätzen, schätze jeden Summanden gegen 1/22n ab. Insgesamt sind es 22n Summanden, also kann die zweite Summe gegen 1 abgeschätzt werden.
Folglich ist
= S2n-1 i=1 1/i + S2n+1-1 i=2n 1/i < n + 1. Das war der eine Teil.
Und die Abschätzung nach unten: Schätze jeden Summanden der zweiten Summe gegen 1/2n+1 ab. Es sind 2n Summanden, also ist die zweite Summe größer als 1/2.
Reicht das?
Gruß
Matroid |
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