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Antisymmetrie

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Gertrude
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Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 22:14:   Beitrag drucken

Kann mir bitte einer an der Relation A={1,2,3,4} Die Antisymmetrie erklären. Wäre wichtig.!
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h.ludens
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 17:49:   Beitrag drucken

Hallo Gertrude,
ich vermute, deine Aufgabe ist folgendermaßen gemeint : gib eine antisymmetrische Relation auf die Menge A={1,2,3,4} an. Der Unterschied zu deiner Aussage liegt im Ausdruck "Relation auf..."
Damit wird ausgedrückt, das diese Relation eine Teilmenge des sogenannten kartesischen Produktes der Menge A ist.
Dieses kartesische Produkt ergibt sich aus geordneten Tupeln (ich denke, dieser Begriff sagt dir etwas)aller Elemente der Menge, also zum Beispiel : (1,1),(1,2),(1,4),(2,1)usw. Insgesamt stellt das kartesische Produkt somit eine neue Menge mit 4*4 Elementen (eben den Tupeln) dar.
Deine gesuchte Relation ist nun also eine Teilmenge dieser 16 Elemente und soll antisymmetrisch sein. OK
Eine Relation ist antisymmetrisch, wenn aus (a,b)eR und a ungleich b stets folgt (b,a) ist nicht in R enthalten.
Am Beispiel deiner Relation : ist das Tupel (1,2) Element deiner Relation dann darf das dazu symmetrische Tupel (2,1) nicht in R enthalten sein. Eine Relation ist allerdings nur dann antisymmetrisch, wenn diese Bedingung für alle Elemente erfüllt ist, du kannst also kein einziges Element finden, dessen Umkehrung in R ist (an einer Matrix kann man das recht einfach überprüfen).
Ist diese Bedingung nur für einige Elemente erfüllt, z.B. kann R (1,2)und (2,1) enthalten, aber für (2,3) gibt es kein symmetrisches Tupel, dann heißt die Relation unsymmetrisch.
Findest du zu jedem Element ein symmetrisches Element, ist deine Relation symmetrisch.
Ich hoffe, das ich nicht zu unverständlich geschrieben habe und dir helfen konnte.

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