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Beitrag |
    
Jens Stegemann (Tiberius)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 21:38: | 
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Hallo!
Wir haben folgenden Beweis als Hausaufgabe:
1. Es sei x Element R. Man zeige für alle n Element N mit 0 gilt:
(1+x)n=Sn v=0(n über v) * xv
Ich habe es mit Induktion versucht, aber bin gescheitert. Hat jemadn eine Ahnung, wie das geht?
Danke! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 22:13: |
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Hallo Jens,
das geht mit Induktion.
Für n=0 steht da (1+x)0 = (00)*x0 und das ist richig.
Für n=1: 1+x = (10)*x0 + (11)*x1 auch richtig.
Nun der Induktionsschritt:
(1+x)n+1 = (1+x)n * (1+x)
= (1+x) * Sn i=0 (ni)*xi
= 1* Sn i=0 (ni)*xi + x* Sn i=0 (ni)*xi
= Sn i=0 (ni)*xi + Sn i=0 (ni)*xi+1
jetzt verschiebe ich den Index in der zweiten Summe.
= Sn i=0 (ni)*xi + Sn+1 i=1 (ni-1)*xi
In den beiden Summen kommen die Potenzen x1 bis xn vor. Aber x0 ist nur in der ersten Summe und xn+1 nur in der zweiten Summe. Ich zerlege die Summen dementsprechend.
= 1 + Sn i=1 (ni)*xi + Sn i=1 (ni-1)*xi + xn+1
Und dann kann ich die beiden Summen zusameenfassen:
= 1 + Sn i=1 [(ni) + (ni-1) ]*xi + xn+1
Nun gilt für die Binomialkoeffizienten die folgende Beziehung: (ni) + (ni-1) = (n+1i)
Das eingesetzt ergibt:
= 1 + Sn i=1 (n+1i)*xi + xn+1
und dann
= Sn+1 i=0 (n+1i)*xi
Gruß
Matroid |
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