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Beitrag |
    
crusader
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 15:43: | 
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Eine Permutationsgruppe bzgl. der Grundmenge
M = (1, 2, 3) ist hat ja folgende Elemente:
P1 = (1 2 3)
____(1 2 3)
P2 = (1 2 3)
____(1 3 2)
P3 = (1 2 3)
____(2 1 3)
P4 = (1 2 3)
____(2 3 1)
P5 = (1 2 3)
____(3 1 2)
P6 = (1 2 3)
____(3 2 1)
Assoziativität ist gewährleistet
Es gibt das neutrale Element = P1
Es gibt zu jedem Element das Inverse Element
Kommutativ ist sie nicht, da die Elemente
bei Vertauschung andere Ergebnisse liefern
(P(M),+) ist somit eine nicht-kommutative
Gruppe und wird mit Sn bezeichnet
In unserem Falle S3
Auch "Symmetrische Gruppe vom Grad n" genannt
F R A G E 1: Sind Permutationsgruppen und
symmetrische Gruppen Sn nun genau dasselbe????
Zu S3 gibt es noch folgende Untergruppen:
(P1, P2)
(P1, P3)
(P1, P6)
(P1, P4, P5)
Die Verknüpfung von Elementen der Untergruppe
darf nicht aus der Untergruppe herausführen.
Die Ordnung einer Gruppe ist definiert als die
Anzahl der Elemente einer Gruppe.
Also ist die Ordnung einer Untergruppe von S3
ein Teiler der Gruppenordnung der übergeordneten
Gruppe S3.
6 / 2 = 3
6 / 3 = 2
F R A G E 2: Warum wird die Untergruppe
(P1, P4, P5) als die zu S3 "Alternierende
Permutationsgruppe" A3
bezeichnet????????????
F R A G E 3: Nun hat unser Dozent in seinem Script eine
ganz tollen Satz stehen, den ich nicht so ganz
hundertprozentig verstehr? Vielleicht
irgendwer dadraußen???
Hier ist er:
ZITAT: "Die Gesamtheit aller geraden Permutationen
(Permutationen mit gerader Anzahl von Inversionen)
von n Elementen ist die UntergruppeAn der Gruppe Sn
aller überhaupt möglichen Permutationen und besitzt
die Ordnung | An | = n! / 2
---> Damit gibt es also ebenso viele gerade, wie
ungerade Permutationen"
W E R W E I ß D A S???? |
Yps
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 13:23: |
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Hi crusader,
zu Frage 3:
Am Beispiel der Gruppe S3:
du kannst dir die Elemente aller geraden Permutationen heraussuchen, das sind genau 3:
P1 wegen 0 Inversionen (keine Vertauschungen zweier El.), P4 und P5 (je 2 Vertauschungen). Du kannst es dir in etwa so vorstellen: z.B. P4:
1.Vertauschung: 3 mit 1
2.Vertauschung: 2 mit 1.
Also 3 gerade Permutationen.
S3 hat nun genau die Mächtigkeit (Ordnung, Anzahl der Elemente) 3! = 6 (hast du ja oben schon angegeben). Damit haben wir also genau halb so viele gerade Permutationen, d.h. die anderen sind ungerade, also gleich viel.
Nun bilden die geraden Permutationen genau eine Untergruppe (kannst du überprüfen (neutrales El., Inverses, Abgeschlossen)), also A3. Die ungeraden Permutationen aber nicht! (hier fehlt schon das neutrale Element) |
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