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crusader
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 14:09: | 
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Ein Eigenwert ist ja definiert mit:
A*x = k*x k=Eigenwert x=Eigenvektor
[A*x = k*x] = [A*x - k*x = 0] = [(A - k)* x = 0]
Es handelt sich bei (A - k)* x = 0 um ein lineares Gleichungssystem, welches natürlich nur dann eine nicht-triviale Lösung besitzt, wenn der Kern(A) > 0 ist.
Der kern sind alle Elemente die auf die 0 abgebildet werden. Also die Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems.
Wenn nämlich der von Kern(A) = 0 ist, dann gibt es nur die triviale Lösung und da dann x = 0 ist kann der Faktor (A - k) sein wie er will - es kommt immer 0 raus. Und damit kann k also auch annehmen was es will. Folglich gibt es dann keine Eigenwerte.
Wenn aber der Kern(A) > 0, dann kann k nur bestimmte Werte annehmen und es gibt dann Eigenwerte.
Dann ist mir aufgefallen, daß wenn man die Matrix
(k*En) (En ist die Einheitsmatrix) von der Matrix, von der man die Eigenwerte bestimmen soll, abzieht (also [T = A - (k*En)]), daß der
rang der Matrix T nicht mehr maximal ist.
Also das Gleichungssystem A x = 0, welches
aus linear unabhängigen gleichungen besteht, wurde in eines umgeandelt, welches aus linear abhänigen Gleichungen besteht --->
(A - (k * En))* x = 0
Aus diesem Grunde muß die Determinate der
Matrix (A - (k * En)) = 0 sein, da in diesem Falle die Matrix abhängige Vektoren besitzt.
Wenn es auf dieser Erde irgendein Mathefreak gibt, der mir das 100%úg bestätigen kann wäre ich dem sehr sehr sehr DANKBAR!!!! |
doerrby
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 17:46: |
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Der besondere Sinn hinter den Eigenwerten ist es eben, einen Vektor zu finden, der, wenn man ihn durch die Matrix schickt, einfach nur vervielfacht wird und nicht irgendwie umgelenkt. Man kann im Idealfall eine Basis aus Eigenvektoren angeben, bezüglich der die Matrix sehr einfach aussieht, d.h. nur Einträge auf der Diagonalen hat.
(A-k) ist übrigens nicht definiert, weil A eine Matrix und k ein Skalar ist. Man schreibt, wie Du es weiter unten gemacht hast,
(A - k*En) x = 0
Kern(A) ist hier nicht interessant, sondern Kern(A - k*En). Denn genau dann, wenn k Eigenwert ist, ist Kern(A - k*En) mehr als nur die 0, d.h. es gibt noch Vektoren x /= 0, die (A - k*En) x = 0 erfüllen, und die sind dann die Eigenvektoren. Eigenwerte können 0 sein, Eigenvektoren nicht.
Wie Du richtig geschrieben hast, ist der Rang von (A - k*En) nicht mehr maximal, wenn k Eigenwert ist (Rangformel), und damit ist det(A - k*En) = 0. Diese Tatsache macht man sich zunutze, um Eigenwerte zu bestimmen.
Man geht also eigentlich umgekehrt vor: man setzt det(A - k*En) = 0 und ermittelt die k, die das erfüllen. Hat man die gefunden, werden sie der Reihe nach eingesetzt und zu jedem k soviele Eigenvektoren wie möglich gesucht, indem man einfach einen allgemeinen Vektor (x1,x2,...,xn) einsetzt und so zu einem homogenen linearen Gleichungssystem kommt, wo man mindestens ein xi frei wählen kann.
Gruß Dörrby |
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