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Beitrag |
    
Nicole
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 14:54: | 
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Hallo Ihr Mathegenies,
kann mir jemand den kompletten Lösungsweg der folgenden Aufgabe sagen?
Bestimmen Sie alle Eigenwerte und zugehörige Eingenvektoren der symmetrischen Matrix
A=
(1 2 3)
(2 -4 -2)
(3 -2 1)
Vielen Dank schon mal im voraus.
Gruß Nicole |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 11:30: |
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Hi Nicole
Zuerst notieren wir die Matrix B, die aus der gegebenen
Matrix A dadurch entsteht, dass wir die Elemente
a11, a22, a33 in der Hauptdiagonale von A durch
b11 = a11- L, b22 = a22 - L, b33 = a33 - L
ersetzen und somit die Matrix B = A - L * E erzeugen,
wobei E die (3,3)- Einheitsmatrix ist
Wir berechnen die Determinante von B und setzen sie null.
Dabei entsteht eine kubische Gleichung in L, die sogenannte
charakteristische Gleichung, deren Lösungen L1, L2, L3
die gesuchten Eigenwerte der Matrix A sind
Ausführung
Elemente in der ersten Zeile der Matrix B:
b11 = 1 - L , b12 = 2 , b13 = 3 ,
in der zweiten Zeile:
b21 = 2 , b23 = - 4 -L , b23 = - 2
in der dritten Zeile:
b31 = 3 , b32 = - 2 , b33 = 1 - L
Damit berechnen wir die Determinante von B;
diese lautet in vereinfachter Form:
det(B) = - L ^ 3 - 2 * L ^ 2 + 24 * L
charakteristische Gleichung: durch Nullsetzen:
L ^ 3 + 2* L ^ 2 - 24 * L = 0 oder
L* ( L ^ 2 + 2 * L - 24 ) = 0
Die Lösungen und damit die Eigenwerte sind
L1 = 0 , L2 = 4 , L3 = - 6.
Die zugehörigen Eigenvektoren werden nachgeliefert.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 15:16: |
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Hi Nicole,
Zur Ermittlung der Eigenvektoren schreiben wir
mit Hilfe der Elemente bik der im letzten Abschnitt
eingeführten Matrix B das folgende Gleichungssystem
b11 * x + b12 * y + b13 * z = 0
b21 * x + b22 * y + b23 * z = 0
b31 * x + b32 * y + b33 * z = 0
also
(1 - L) * x + 2 * y + 3 * z = 0
2 * x + (- 4 - L) * y - 2 * z = 0
3 * x - 2 * y + (1-L) * z = 0
Wir setzen nun für L der Reihe nach die im letzten Abschnitt
berechneten Eigenwerte ein. Jedesmal erhalten wir ein
homogenes lineares Gleichungssystem mit einer Determinante,
welche null ist
Jedes dieser Systeme hat unendlich viele Lösungstripel
e ={x;y;z};jeder so gewonnene ,vom Nullvektor verschiedene
Vektor e, ist ein Eigenvektor bezüglich des eingesetzten Eigenwertes.
Wir benützen stets die ersten zwei Gleichungen und normieren so,
dass die dritte Koordinate z = 1 ist.
Ausführung
1). L = 0
x + 2 y + 3 z = 0
2 x + 4 y + 2 z = 0 , daraus mit z = 1 : x = - 1 , y = - 1
Eigenvektor e1 ={-1 ; -1 ; 1}
2) L = 4
-3 x + 2 y + 3 z = 0
2 x - 8 y - 2 z = 0 , daraus mit z = 1 : x = 1 , y = 0
Eigenvektor e 2 = {1 ; 0 ; 1}
3) L = - 6
7 x + 2 y + 3z = 0
2 x + 2y - 2 z = 0, daraus mit z= 1: x = - 1, y = 2
Eigenvektor: {-1 : 2 ; 1}
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Nicole
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 14:40: |
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Hallo Megamath,
vielen Dank schon mal, das hat mir sehr viel weiter geholfen, wobei ich bis zum Nullsetzen gekommen bin, jetzt habe ich eine Frage zu den Eigenvektoren. Muß ich für z einfach einen Wert bestimmen oder gibt es noch andere Möglichkeiten auf die Eigenvektoren zu kommen.
Gruß Nicole |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 13:28: |
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Hi Nicole,
Bekanntlich sind die Eigenvektoren, welche zum
gleichen Eigenwert gehören, kollinear .
Aus Zweckmässigkeitsgründen habe ich bei der Suche
nach den Eigenvektoren jeweils die dritte Koordinate
z = 1 gesetzt und damit aus der Mannigfaltigkeit der
zum selben Eigenwert gehörigen Eigenvektoren einen
Repräsentant nach meinem Geschmack ausgewählt.
Dies ist angängig für solche Vektoren ,deren
z-Koordinaten nicht null sind.
Hoffentlich habe ich Dich damit nicht zu sehr verwirrt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Nicole
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 17:18: |
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Hallo Megamath,
da kann was nicht stimmen, wenn ich nach Deinem Schema vor gehen, dann müßte doch bei Ausführung 1) L=0
x + 2y + 3z = 0
2x - 4y -2z = 0
rauskommen
und bei
3) L= -6
-5x + 2y + 3z = 0
2x - 10y - 2z = 0.
ODER!?!?!?!?!?
Gruß Nicole |
Nicole
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 17:25: |
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Sorry Megamath,
scheiß Vorzeichen !!! Du hast natürlich recht.
Gruß Nicole |
Nicole
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 17:34: |
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Ich bin es schon wieder und muß meine letzte Äußerung doch wiederrufen:
Ausführung 1)
müßte eigenlich doch wie in 18:18 vom 06.12.00 sein.
Schau doch bitte nochmal drüber.
Gruß Nicole |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 19:41: |
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Hi Nicole ,
Bravo: Du gehst den Dingen auf den Grund
und tatsächlich :
Du hast einen Tippfehler von mir gefunden,
den ich hiermit eingestehen und korrigieren möchte
Beim ersten Eigenwert L=0 ist Deine Version der
Gleichung richtig ,nämlich :
2x - 4y - 2 z = 0
Der Rest stimmt !
Du solltest beachten, dass der dritte Eigenwert minus 6 ist ,
nicht plus 6.
Ich wollte dies unbedingt berichtigen, bevor ich von
St.Nikolaus zur Rechenschaft gezogen werde.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Nicole
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Dezember, 2000 - 09:32: |
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Super Danke!!
Gruß Nicole |
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