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Dgl. mit Substitution loesen

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Ralf Elwing
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 02:28:   Beitrag drucken

Hi,

DGLs. machen eigentlich viel Spass ABER ich
hab (leider) die Substitution noch nicht begriffen:

Ermitteln Sie die allg. Loesung der DGL

y´+/frac{y}{x}=/frac{1+(xy)^2}{2}

Hinweis: Die Subst. t(x)=xy fuehrt auf eine DGL in trennbaren Variablen.

Koennte mir das jemand bitte _ausfuehrlich_ erlaeutern. Bitte nur die Subst. - Loesen moechte
ich sie dann schon selbst.

Waere supernett,
Ralf

PS: z.B. /frac{string1}{string2} steht fuer string 1 geteilt durch string2 :-)
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B.Bernd
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Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 13:23:   Beitrag drucken

Hi Ralf,

Wenn ich recht verstehe, meinst du die DGL

y'(x) + y(x)/x = (1/2)*(1+(x*y(x))2)


Subst. t(x) = xy <=> y = t(x)/x für x¹0, der Fall x=0 musste oben schon ausgeschlossen werden

nach Quotientenregel ergibt sich die Ableitung
y'(x) = (t'(x)*x-t(x)*1)/x2 = t'(x)/x - t(x)/x2

dies zusammen mit y(x)= t(x)/x in die Dgl eingesetzt führt auf


t'(x)/x - t(x)/x2 + t(x)/x2 = (1/2)*(1+(x*t(x)/x)2)

also vereinfacht und mit x multipliziert

dt/dx = (x/2)*(1+(t(x))2)

also allgemeiner Ablauf: Die Substitutionsvorschrift nach der völlig zu ersetzenden Variable (in diesem Fall y) umstellen, mit dieser umgestellten Gleichung das y in der Dgl ersetzen.

(hier konnte etwas vereinfacht auf der rechten Seite unmittelbar x*y(x) durch t(x) ersetzt werden, im allgemeinen kommt natürlich der zu substituierende Term nicht schon so zusammenhängend vor)

Die Trennbarkeit der Variablen müsste erkennbar sein.

War es das, was du gemeint hast?

Gruß, Bernd
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Ralf Elwing
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 08:36:   Beitrag drucken

Genau das wollte ich wissen!

Vielen Dank, ich schaue mir das gleich mal an und melde mich spaeter hier in diesem Thread wieder.

Bis denn,
Ralf

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