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Beitrag |
    
Dropslutscher
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. November, 2000 - 19:25: | 
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wie im Titel
cos3x=3cosx-4cos^3x
Danke für eure Hilfe |
Percy
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 16:03: |
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Hi Dropslutscher,
heißt die Gleichung wirklich
cos(3x)=3*cos(x)-4*cos³(x)
und soll nach x aufgelöst werden? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 08:55: |
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Hi,
Bei der angegebenen Formel handelt es sich nicht
um eine Bestimmungsgleichung, sondern um eine Relation,
welche für alle Werte der Variablen x gilt; nur steckt ein
Vorzeichenfehler drin.
Richtig heisst die Formel so:
cos 3x = 4 (cos x ) ^ 3 - 3 cos x .............................................(1)
Für den Sinus und Tangens lauten die entsprechenden Formeln:
sin 3x =3 sin x - 4 (sin x) ^ 3.................................................(2)
tan 3x = [3 tan x - ( tan x ) ^ 3 ] / [1 - 3 * ( tan x ) ^ 2 ].........(3)
Herleitung von (1)
Mit Hilfe des Additionstheorems des Kosinus und der
Doppelwinkelformeln von Sinus und Kosinus.
cos(3x) = cos(2x + x) =
= cos 2x cos x - sin2x sin x =
= [ ( 2 (cos x ) ^ 2 - 1 ) * cos x - 2 sinx *cos x * sinx ]
= cos x * [ 2 (cos x ) ^ 2 - 1 - 2 * (1 - (cos x) ^ 2) ]
= cos x * [ 4 * (cos x ) ^ 2 - 3 ] ;
damit ist (1) nachgewiesen
(2) beweist man analog oder so:
Wir leiten beide Seiten der Relation (1) nach x ab (!)
und bekommen:
-3 sin 3 x = - 12 (cos x ) ^ 2 * sin x + 3 sin x
Hebt man beiderseits den Faktor - 3 weg und ersetzt
(cos x ) ^ 2 durch 1 - (sin x ) ^ 2 , so ergibt sich Formel (2)
von selbst.; so spannend kann selbst Goniometrie sein !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Dropslutscher
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 12:37: |
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Oh mann jetzt bin ich total verwirrt!
also dir Gleichung soll nur nachgerechnet werden analog hatte ich dazu diese folgende Gleichung
sin(3x)=3*sin(x)-4*sin^3(x)(ich sollte cos(3x) dazu analog ausdrücken woraus ja die obige Gleichung folgt)
Rechenweg zu sin(3x)=3*sin(x)-4*sin^3(x):
bekannte Gleichung ist
(1)cos2x=2*cos^2(x)-1
(2)cos^2(x)=1-sin^2(x)
sin(3x)=sin(2x+x)
=sin(2x)*cos(x)+sin(x)cos(2x) für cos(2x) (1)
=2*sin(x)*cos^2(x)+2*sin(x)*cos^2(x)-sin(x)
=4*sin(x)*cos^2(x)-sin(x) mit (2)
=4*sin(x)-4*sin^3(x)-sin(x)
=3*sin(x)-4*sin^3(x)
<=>sin(3x)=3*sin(x)-4*sin^3(x)
so ging das wenn ich nicht dank meiner unsauberen Schrift was falsch abgetippt habe. |
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