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pete
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 20:11: | 
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Hallo Leute,
ich möchte gerne mit "einfacher" sphärischer Trigonometrie den Winkel der Strecke zwischen zwei Punkten auf der Erdoberfläche zur Y-Achse (Länge) berechnen. Die Punkte liegen sehr nah beieinander (kleiner 10 km bzw. kleiner 3 km).
Bitte helft mit mit der Formel, oder gebt mir einen Link auf eine Formelsammlung im Internet (?), in der ich sie nachlesen kann.
Vielen herzlichen Dank.
Pete |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 16:29: |
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Hi Pete,
Es gilt zunächst,Kenntnisse aus der sphärische
Geometrie zu aktivieren
A]
Der Flächeninhalt F eines sphärischen Dreiecks
und der sphärischer Exzess epsilon des Dreiecks.
Die drei Seiten eines sphärischen Dreiecks ABC sind
Grosskreisbögen der Kugel mit Mittelpunkt M ,
deren Radius R gegeben ist
Die Seiten a , b , c des Dreiecks sind Winkel mit
Scheitel in M , nämlich:
a =Winkel (BMC), b = Winkel(CMA), c =Winkel (AMB)
Die Winkel alpha ,beta , gamma des Dreiecks sind
der Reihe nach die Winkel der Grosskreisebenen
[AMB,AMC],[BMC,BMA],[CMA,CMB]
Diese Winkel ergeben sich auch als Winkel der Tangenten
der Grosskreisbögen in A,B,C.
Die Winkelsumme S eines sphärischen Dreiecks ist grösser
als 180°; der Ueberschuss über 180° heisst
sphärischer Exzess epsilon und hängt vom Flächeninhalt
des Kugeldreiecks ab.
Es gilt, für den Flächeninhalt A des Dreiecks und für den Exzess
epsilon = [alpha + beta + gamma } -180°
die Beziehung:
A = Pi * R^ 2 / 180° * epsilon. (epsilon im Gradmass)
Ein Beispiel.
Man bestimme die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks
mit der Fläche A = 40000 km^2 (Fläche der Schweiz) auf
der Erdkugel (Radius R = 6370 km).
epsilon = A*180° / (Pi* R^2) = 0.0565° ~ 3.4 Min.
B]
Der Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie
Analog zur ebenen Geometrie gibt es einen
Kosinussatz ; er dient namentlich dazu,
aus zwei Seiten a , b und dem Zwischenwinkel gamma
die gegenüberliegende Seite c zu berechnen.
Er lautet:
cos c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos (gamma) ....(1)
Wir werden ihn brauchen, wenn wir die sphärische Distanz
zweier Punkte auf der Erdoberfläche berechnen wollen,
die etwa durch ihre geographischen Koordinaten gegeben sind.
(siehe weiter unten)
C]
Der Sinussatz der Sphärik
Er lautet:
sin (alpha) / sin a = sin (gamma) / sin c .........................(2)
Wir benötigen diese Formel, um Deine Frage nach dem
Richtungswinkel mit der Nordrichtung der kürzesten Verbindung
der Punkte A und B auf der Kugel zu bestimmen.
Auswertung in einer Fortsetzung dieses Beitrags.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 20:30: |
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Hi Pete,
Will man nun den sphärischen Abstand zweier Punkte
A und B auf der Nordhalbkugel der Erde je aus der
geografischen Länge und Breite des Ortes ermitteln,
so benützt man den Nordpol N = C als dritte Ecke
im sphärischen Dreieck ABC
Der Winkel c des Dreiecks ergibt sich als Differenz der
geografischen Längen von A und B, die Seiten a und b
als sogenannte Poldifferenzen, das sind die Ergänzungen
der geografischen Breiten der Orte auf 90°.
Wir wählen ein Beispiel: Abstand Zürich -Hamburg
Daten von Hamburg:
Länge 10.25°, Breite 53.48° ,daraus Polhöhe a = 36.52°
Daten von Zürich:
Länge 8.55°, Breite 47.38°, daraus Polhöhe b = 42.62°
Differenz der Längen: gamma = 1.7°
Mit dem Kosinussatz berechnen wir die Gegenseite AB = c:
c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos (gamma) = 0.99416
daraus c = 6.1949°
die sphärische Entfernung s rechnet sich aus R = 6370 km
mit der Formel s = 2* Pi * R * 6.1949 / 360 ~ 689 km (plausibel !)
Mit dem Sinussatz berechnen wir
sin(alpha) = sin a * sin (gamma) / sin c = 0.16360,
daraus : östliche Abweichung bez. Nordrichtung
von Zürich aus mit 9.42°
Dies lässt sich leicht bei einem Flug von Z. nach H.
realisieren!
Benzin für 700 km sollte knapp reichen ?!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
joaquin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Mai, 2001 - 21:39: |
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hallo, ich bin einen Schüler auf einer deutschen Schule in Spanien und ich würde gerne etwas(Grundkenntnisse) über sphärische Geometrie wissen, denn ich im Sommer in einen Mathekurs hingehen werde und ich will eine gute Basis haben.Es würde mich sehr freuen wenn Sie mir zum E-mail etwas senden würden. Es muss nicht sehr gründlich sein, ich bin nicht doof!!
Herzlichen Dank!
pd:Entschuldigung für die Sprache, aber ich kann kein deutsch schreiben, obwohl ich es sehr gut verstehe.
Joaquin |
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