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Beitrag |
    
Sascha Lischer (Drvonrosenstein)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 23:29: | 
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Hi!
Ich habe folgende Aufgabe:
Lösen Sie die Differentialgleichung
dy/dx=-((1-y^2)^0,5)*sin(x)/y
mit y(0)=1, (y kleiner/gleich 1) durch Separation der Variablen. Prüfen Sie die Lösung durch Einsetzen (Vorzeichenwahl!). Gibt es eine andere Lösung? Wie paßt das mit dem Satz von Picard zusammen?
Danke an alle!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 13:32: |
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Hi Sascha
Die allgemeine Lösung der von Dir vorgelegten DGl .lautet
y ^ 2 = 1 - (cos x + c) ^ 2 mit c als Integrationskonstante
Unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung y(0)=1
ergibt sich mit c = -1 die gesuchte Lösung:
y ^ 2 = 2 * cos x - (cos x.) ^2.
Herleitung
1.Methode: Separation der Variablen
y * dy / wurzel (1 - y ^2 ) = - sin x ;
Integration beider Seiten ergibt:
- wurzel (1- y ^ 2 ) = cosx + c , quadriert
1 - y ^ 2 = [ cos x + c] ^ 2
Für y(0) =1 kommt c = -1, somit
y ^ 2 = 2 * cos x - ( cos x ) ^ 2
2.Methode
Substitution y ^ 2 = z
Ableitung nach x: 2 y * y ' = z ' , in die DGl. eingesetzt:
z ' / 2 = - wurzel (1-z ) * sin x , Separation der Variablen
auch hier:
dz / wurzel(1 - z ) = - 2 * sin x * dx.; Integration:
- 2 * wurzel(1 - z) = 2 cos x + C
- wurzel (1 - z) = cos x + c; durch quadrieren kommt:
1 - z = (cos x ) ^ 2 - 2 * cos x + 1 , also
z = 2 * cos x - ( cos x ) ^ 2.; Substitution rückgängig gemacht:
y ^ 2 = .2 * cos x -( cos x ) ^ 2
Probe durch Ableiten und Einsetzen.
y^2 nach x abgeleitet:
2 y * y ' = - 2 * sin x + 2 cos x * sin x , also wird die
linke Seite L der gegebenen DGL
L = y' = (- sin x + cos x * sin x ) / y
Die rechte Seite R wird:
R = - wurzel (1 - y ^ 2) * sin x / y
Da wurzel (1 - y ^ 2 ) = wurzel [(1 -cos x )^2] = 1- cosx
ergibt, stimmen L und R überein, w.z.b.w.
Mit freundlichen Grüssen
H.R,Moser,megamath. |
Sascha Lischer (Drvonrosenstein)
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 16:54: |
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Danke! Hey, vielen Dank. Du hast mir sehr geholfen! |
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