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ratloser Schüler
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 21:19: | 
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(Euler)Falls p=2^(n-1) eine Primzahl ist, so ist 2^(n-1)*((2^n)-1) eine vollkommene Zahl.
und
Jede vollkommende Zahl a ist von der Art
a=2^(n-1)*((2^n)-1).
Könnte mir jemand allgemeingültige Beweise für diese Sätze geben ?? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. November, 2000 - 21:50: |
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Hallo Schüler,
zu Deiner Aufgabe paßt http://www.zahlreich.de/cgi-bin/hausaufgaben/show.cgi?4244/6900
Gruß
Matroid |
ratloser Schüler
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 13:34: |
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Sorry, aber das hilft mir auch nicht weiter. Wie man mit der Formel rechnet weiss ich selbst, das Problem ist nur, dass ich bis jetzt nur einen Beweis für diese Formel gefunden habe, der sich mit der Sigmafunktion begründet und das passt nicht mehr in meine Facharbeit :-((( |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 18:27: |
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Um zu zeigen, daß eine Zahl n vollkommen ist, muß man zeigen, daß die Summe aller positiven Teiler gleich 2n ist.
Das Symbol s ist keine Funktion, sondern eine Abkürzung für die Summe aller positiven Teiler einer Zahl.
Du solltest Dich also nicht davon abhalten lassen einen Beweis, in dem s vorkommt zu verstehen. Es ist genau, was Du brauchst.
Gruß
Matroid |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 18:57: |
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Ich will's den Beweis mal versuchen...
Beh.: Falls p = 2n-1, so ist m = 2n-1*(2n-1) eine vollkommene Zahl.
Es ist m = 2n-1*(2n-1) = 2n-1 * p.
Welche Teiler hat m?
Erstens überlegt man sich, welche Teiler von m den Primfaktor p enthalten:
p,2p,4p...,2n-1*p
und dann überlegt man sich, welche Teiler von m den Faktor p nicht enthalten:
1,2,4,...,2n-1
Die Summe der Teiler, die den Faktor p enthalten, ist Sn-1 i=0 p*2i = p*Sn-1 i=0 2i = p * (2{n}-1)
Die Summe der Teiler, die den Faktor p nicht enthalten, ist Sn-1 i=0 2i = 2{n}-1
Zusammen: Summe aller positiven Teiler von m = s(m)= p * (2{n}-1) + (2{n}-1) = (p+1)*(2{n}-1) = (2n-1+1)*(2{n}-1) = 2n*(2{n}-1) = 2 * 2n-1*(2{n}-1) = 2m
Also ist m vollkommen!
Ich muß nun zugeben, daß es auch ohne s(m) geht. |
erleuchteter Schüler
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 21:30: |
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Jo. Das sieht ja schon ganz vielversprechend aus. Danke. Wenn du willst kann ich dir auch meine Version schicken, ist aber immer so schwierig die hier einzugeben :-) |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 21:55: |
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Ja, wenn Du einen anderen Ansatz hast, würde mich das schon interessieren. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 22:04: |
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Und da, wo in meinem Beweis 2{n} steht, muß es richtig 2n heißen. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. November, 2000 - 22:37: |
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Nun wäre ja noch die zweite Behauptung zu zeigen. Vielleicht hast Du das ja auch schon gefunden http://www.bobi.net/schiller/projekte/math-inf/interne2.htm
Aber das habe ich mir selbst noch nicht näher angesehen. Vielleicht kommt man doch nicht um s herum. Aber es ist ja nur eine Abkürzung.
Gruß
Matroid |
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